När du hör orden "rationell" och "irrationell" kanske de för tankarna till den obevekligt analytiska Spock i "Star Trek". Men om du är matematiker tänker du förmodligen på förhållanden mellan heltal och kvadratrötter.
Inom matematikens område, där ord ibland har specifika betydelser som skiljer sig mycket från vardagligt bruk, är skillnaden mellan rationella och irrationella tal har inget med känslor att göra. Eftersom det finns oändliga irrationella tal, gör du klokt i att få en grundläggande förståelse för dem.
Innehåll
"När du kommer ihåg skillnaden mellan rationella och irrationella tal, tänk ett ord:förhållande," förklarar Eric D. Kolaczyk. Han är professor vid avdelningen för matematik och statistik vid Boston University och chef för universitetets Rafik B. Hariri Institute for Computing and Computational Science &Engineering.
"Om du kan skriva ett tal som ett förhållande mellan två heltal (t.ex. 1 över 10, -5 över 23, 1 543 över 10, etc.) så lägger vi det i kategorin rationella tal", säger Kolaczyk i ett mejl. "Annars säger vi att det är irrationellt."
Du kan uttrycka antingen ett heltal eller en bråkdel — delar av heltal — som ett förhållande, med hjälp av ett heltal som kallas en täljare ovanpå ett annat heltal som kallas en nämnare. Man delar upp nämnaren i täljaren. Det kan ge dig ett tal som 1/4 eller 500/10 (även känt som 50).
Irrationella tal, till skillnad från rationella tal, är ganska komplicerade. Som Wolfram MathWorld förklarar, kan de inte uttryckas med bråk, och när du försöker skriva dem som ett tal med en decimal, fortsätter siffrorna bara att fortsätta och fortsätta, utan att någonsin stoppa eller upprepa ett mönster.
Så vilken typ av siffror beter sig på ett så galet sätt? I grund och botten sådana som beskriver komplicerade saker.
Det kanske mest kända irrationella talet är pi - ibland skrivet som π, den grekiska bokstaven för "p" - som uttrycker förhållandet mellan omkretsen av en cirkel och diametern på den cirkeln. Som matematiker Steven Bogart förklarade i denna Scientific American-artikel från 1999, kommer det förhållandet alltid att vara lika med pi, oavsett storleken på cirkeln.
Sedan babyloniska matematiker försökte beräkna pi för nästan 4 000 år sedan, har successiva generationer av matematiker hållit igång och kommit med längre och längre strängar av decimalexpansionen med icke-repeterande mönster.
Under 2019 lyckades Google-forskaren Emma Hakura Iwao utöka pi till 31 415 926 535 897 siffror.
Ibland är en kvadratrot – det vill säga en faktor av ett tal som, när den multipliceras med sig själv, ger talet som du började med – ett irrationellt tal, såvida det inte är en perfekt kvadrat som är ett heltal, till exempel 4, kvadraten roten av 16.
Ett av de mest iögonfallande exemplen är kvadratroten ur 2, som blir 1,414 plus en oändlig sträng av icke-repeterande siffror. Det värdet motsvarar längden på diagonalen inom en kvadrat, som först beskrevs av de gamla grekerna i Pythagoras sats.
"Vi använder faktiskt vanligtvis "rationell" för att betyda något mer som baserat på förnuft eller liknande, säger Kolaczyk. "Dess användning i matematik verkar ha dykt upp så tidigt som på 1200-talet i brittiska källor (enligt Oxford English Dictionary). Om du spårar både 'rationell' och 'kvot' tillbaka till deras latinska rötter, upptäcker du att i båda fallen root handlar om 'resonemang', i stort sett."
Vad som är tydligare är att både irrationella och rationella tal har spelat viktiga roller i civilisationens frammarsch.
Även om språket förmodligen går tillbaka till ursprunget för den mänskliga arten, kom siffror mycket senare, förklarar Mark Zegarelli, en matematiklärare och författare som har skrivit 10 böcker i serien "For Dummies". Jägare-samlare, säger han, behövde förmodligen inte mycket numerisk precision, annat än förmågan att grovt uppskatta och jämföra kvantiteter.
"De behövde koncept som "Vi har inga fler äpplen", säger Zegarelli. "De behövde inte veta "Vi har exakt 152 äpplen."
Men när människor började hugga ut tomter för att skapa gårdar, uppföra städer och tillverka och handla varor och resa längre bort från sina hem, behövde de en mer komplex matematik.
"Anta att du bygger ett hus med ett tak där stigningen är samma längd som springan från basen på dess högsta punkt", säger Kolaczyk. "Hur lång är själva takytans sträcka från topp till ytterkant? Alltid en faktor av kvadratroten ur 2 av stigningen (loppet). Och det är också ett irrationellt tal."
I det tekniskt avancerade 2000-talet fortsätter irrationella tal att spela en avgörande roll, enligt Carrie Manore. Hon är vetenskapsman och matematiker i Information Systems and Modeling Group vid Los Alamos National Laboratory.
"Pi är ett uppenbart första irrationella tal att prata om", säger Manore via e-post. "Vi behöver det för att bestämma area och omkrets av cirklar. Det är avgörande för beräkningsvinklar, och vinklar är avgörande för navigering, byggnad, mätning, teknik och mer. Radiofrekvenskommunikation är beroende av sinus och cosinus som involverar pi."
Dessutom spelar irrationella siffror en nyckelroll i den komplexa matematiken som möjliggör högfrekvent aktiehandel, modellering, prognoser och mest statistisk analys – alla aktiviteter som får vårt samhälle att brumma.
"Faktiskt," tillägger Manore, "i vår moderna värld är det nästan vettigt att istället fråga:'Var finns irrationella siffror inte används?'"
Den här artikeln har uppdaterats i samband med AI-teknik, sedan faktagranskad och redigerad av en HowStuffWorks-redaktör.
Nu är det intressantBeräkningsmässigt använder vi nästan alltid approximationer av dessa irrationella tal för att lösa problem, förklarar Manore. "Dessa approximationer är rationella eftersom datorer bara kan beräkna med viss precision. Även om begreppet irrationella tal är allestädes närvarande inom vetenskap och teknik, kan man hävda att vi faktiskt aldrig använder ett sant irrationellt tal i praktiken."
