Om du bara minns vagt din matematikklass i grundskolan kanske du inte kommer ihåg vad ett primtal är. Det är synd eftersom om du försöker hålla dina e-postmeddelanden säkra från hackare eller surfa på webben konfidentiellt på ett virtuellt privat nätverk (VPN), så använder du primtal utan att ens inse det.
Primtal är en avgörande del av RSA-kryptering, som använder primtal som nycklar för att låsa upp meddelanden som är gömda i digitalt skratt. Primtal har andra tillämpningar i livet, så det är bra att förstå dem. Nu till din ursprungliga fråga - är 1 ett primtal och varför spelar primtal någon roll?
Innehåll
Så vad är primtal egentligen? Och hur kom primtal att bli så viktiga i den moderna världen? Som Wolfram MathWorld förklarar är ett primtal – även känt helt enkelt som ett primtal – ett positivt tal större än 1 som bara kan delas med ett och sig själv. Det måste vara delbart med två tal. Med den definitionen av primtal i åtanke är talet 1 inte ett primtal.
Ett bra sätt att komma ihåg det är att veta att ett primtal inte kan delas med några andra positiva naturliga tal utan att lämna vare sig en rest, decimal eller bråk. Ta exemplet med primtal 13. Det har bara två delare:1 och 13. 13 ÷ 6 =2 med en återstod av 1. Att dividera ett primtal med något annat naturligt tal resulterar i överblivna tal.
Genom historien har matematiker brottats med begreppet vad som verkligen definierar ett primtal. Centralt i denna debatt var statusen för talet 1. På 1800-talet diskuterades huruvida 1 är ett primtal eller inte.
Folk trodde en gång att 1 var prime. Grunden för denna övertygelse vilade på idén att ett primtal definieras genom att endast ha två positiva heltalsdelare:en och sig själv. Därför var det enda heltal som utgjorde en utmaning i kategoriseringen 1, eftersom det enligt denna grundläggande definition uppfyllde kriterierna.
Men allteftersom matematiken utvecklades skedde en förändring i detta perspektiv. För att göra talteorier och deras resulterande satser mer konsekventa och sammanhängande, gick matematiker igenom kriterierna för att ett tal skulle identifieras som primtal. Begreppet primtal behövde en distinktion mellan primtal och sammansatta tal.
Enligt definitionen att ett primtal har exakt två distinkta positiva divisorer, passade inte talet 1 eftersom det bara har en distinkt positiv divisor:1. Därför ändrades kategoriseringen och tog inte längre hänsyn till 1 primtal.
Denna förändring säkerställde att varje positivt heltal större än 1 klassificeras som antingen primtal eller sammansatt. Det hjälpte till att ge klarhet i matematiska teorier och teorem, vilket eliminerade potentiella tvetydigheter. Även om debatten till stor del har avgjorts med konsensus om att 1 inte är ett primtal, understryker den historiska debatten de matematiska definitionernas föränderliga karaktär och den ständiga strävan efter precision i disciplinen.
"Det enda jämna primtalet är 2", säger Debi Mink, en pensionerad docent i utbildning vid Indiana University Southeast, vars expertis inkluderar undervisning i elementär matematik. "Alla andra primtal är udda tal." Detta beror på att de har mer än två faktorer. Så låt oss ta en titt på det.
Alla jämna tal är sammansatta tal. 2 är det enda jämna primtalet eftersom det inte har mer än två faktorer - dess enda faktorer är 1 och själva talet 2. För att ett tal ska klassificeras som ett primtal bör det ha exakt två faktorer. Eftersom 2 har exakt två faktorer, 1 och själva talet, 2, är det ett primtal.
Tal som 2, 3, 5, 7, 11, 13 och 17 betraktas alla som primtal eftersom de har exakt två faktorer, 1 och själva talet. Tal som 4, 6, 8, 9, 10 och 12 är inte primtal eftersom de har fler än två faktorer.
Sammansatta tal är motsatsen till primtal. De kan delas med andra tal förutom 1 och sig själva.
Mark Zegarelli, författare till många böcker om matematik i den populära serien "For Dummies" som också undervisar i testförberedande kurser, erbjuder en illustration med mynt som han använder med några av sina elever för att förklara skillnaden mellan primtal och sammansatta tal.
"Tänk på siffran 6", säger Zegarelli och citerar ett sammansatt nummer. "Föreställ dig att du har sex mynt. Du kan forma dem till en rektangel, med två rader med tre mynt. Du kan också göra det med åtta, genom att sätta fyra mynt i två rader. Med siffran 12 kan du göra det till mer än en typ av rektangel — du kan ha två rader med sex mynt, eller tre gånger fyra."
"Men om du tar siffran 5, hur du än försöker, kan du inte sätta den i en rektangel," noterar Zegarelli. "Det bästa du kan göra är att sätta det i en rad, en enda rad med fem mynt. Så du kan kalla 5 för ett icke-rektangulärt tal. Men det enklare sättet att säga det är att kalla det ett primtal."
Det finns gott om andra primtal — 2, 3, 7 och 11 finns också på listan, och det fortsätter att rulla därifrån. Den grekiske matematikern Euclid, tillbaka i cirka 300 f.Kr., utarbetade ett bevis på oändligheten av primtal, vilket kan ha varit det första matematiska beviset som visar att det finns ett oändligt antal primtal. (I det antika Grekland, där det moderna begreppet oändlighet inte riktigt förstods, beskrev Euklid mängden primtal helt enkelt som "mer än någon tilldelad mängd primtal."
Ett annat sätt att förstå primtal och kompositer är att tänka på dem som en produkt av faktorer, säger Zegarelli. "2 gånger 3 är lika med 6, så 2 och 3 är faktorer av 6. Så det finns två sätt att göra sex - 1 gånger 6 och 2 gånger 3. Jag tycker om att se dem som faktorpar. Så med en sammansatt tal, du har flera faktorpar, medan med ett primtal har du bara ett faktorpar, en gånger själva talet."
Att bevisa att listan över primtal är oändlig är inte så svårt, säger Zegarelli. "Föreställ dig att det finns ett sista, största primtal. Vi kommer att kalla det P. Så då tar jag alla primtal upp till P och multiplicerar dem alla tillsammans. Om jag gör det och lägger till ett till produkten , det talet måste vara ett primtal."
Om ett tal är ett sammansatt tal, däremot, är det alltid delbart med en viss mängd lägre primtal. "En komposit kan också vara delbar med andra kompositer, men så småningom kan du bryta ner den till en uppsättning primtal." (Ett exempel:talet 48 har exakt två faktorer, 6 och 8, men du kan dela upp det ytterligare i mer än bara två faktorer:2 gånger 3 gånger 2 gånger 2 gånger 2.)
The Sieve of Eratosthenes är en metod som introducerades av den grekiske matematikern Eratosthenes på 300-talet f.Kr., som användes för att hitta primtal och sammansatta tal bland en grupp av tal.
The Sieve of Eratosthenes bygger på idén att multiplerna av ett primtal inte är primtal i sig själva. Så när du söker efter primtal kan alla multiplar av varje primtal strykas över. Detta eliminerar många nummer som annars skulle ha prövats utan anledning, så silen av Eratosthenes kan spara mycket tid.
Det finns bara 25 primtal mellan talen 1 och 100:
Så varför har primtal haft en sådan fascination bland matematiker i tusentals år? Som Zegarelli förklarar, är mycket högre matematik baserad på primtal. Men det finns också kryptografi, där primtal har en avgörande betydelse eftersom riktigt stora tal har en särskilt värdefull egenskap. Det finns inget snabbt och enkelt sätt att avgöra om det är primtal eller sammansatta tal, säger han.
Svårigheten att skilja mellan enorma primtal och enorma sammansatta tal gör det möjligt för en kryptograf att komma på enorma sammansatta tal som är faktorer av två riktigt stora primtal, sammansatta av hundratals siffror.
"Föreställ dig att låset på din dörr är ett 400-siffrigt nummer", säger Zegarelli. "Nyckeln är ett av de 200-siffriga numren som användes för att skapa det 400-siffriga numret. Om jag har en av dessa faktorer i fickan har jag nyckeln till huset. Men om du inte Om man inte har dessa faktorer är det ganska svårt att komma in."
Det är därför matematiker har fortsatt att arbeta för att komma fram till allt större primtal, i ett pågående projekt som kallas Great Internet Mersenne Prime Search. 2018 ledde det projektet till upptäckten av ett primtal som bestod av 23 249 425 siffror, tillräckligt för att fylla 9 000 boksidor. Det tog 14 år av beräkningar att komma fram till det gigantiska primtalet.
Du kan föreställa dig hur imponerad Euclid kan ha varit av det.
Den här artikeln har uppdaterats i samband med AI-teknik, sedan faktagranskad och redigerad av en HowStuffWorks-redaktör.
Nu är det cooltÄven om många har trott att primtal är slumpmässiga, beskrev två matematiker vid Stanford University i en tidning från 2016 ett tidigare okänt uppenbart mönster, där primtal tenderade att följas av andra primtal som slutade på vissa siffror, som denna Wired-artikel beskriver. Till exempel, bland de första miljarderna primtalen är det cirka 65 procent mer sannolikt att ett primtal som slutar på 9 följs av ett primtal som slutar på ett än att det följs av ett primtal som slutar på nio.
