För de av oss som inte är matematiskt benägna kan begreppet imaginära tal är lite förbryllande. Vad i helvete betyder det ens? Är det här påhittade siffror? Är de osynliga som inbillade vänner? Skicka mattehjälp!

1. Vad är ett imaginärt tal?
2. Beräkna med komplexa och imaginära tal
3. Imaginära tal är punkter på ett plan

Vad är ett imaginärt nummer?

Ett imaginärt tal – i princip ett tal som, när det kvadreras, resulterar i ett negativt tal – etablerades först på 1400- och 1500-talen som ett sätt att lösa vissa förvirrande ekvationer.

Även om man från början sågs som ett slags salongstrick, har imaginära siffror under århundradena sedan kommit att ses som ett verktyg för att begreppsbilda världen på komplexa sätt och är idag användbara inom områden som sträcker sig från elektroteknik till kvantmekanik.

"Vi uppfann imaginära siffror av några av samma anledningar som vi uppfann negativa siffror", förklarar Cristopher Moore. Han är fysiker vid Santa Fe Institute, en oberoende forskningsinstitution i New Mexico, och medförfattare, tillsammans med Stephan Mertens, till 2011 års bok "The Nature of Computation."

"Börja med vanlig aritmetik", fortsätter Moore. "Vad är två minus sju? Om du aldrig har hört talas om negativa siffror är det inte vettigt. Det finns inget svar. Du kan inte ha negativa fem äpplen, eller hur? Men tänk på det så här. Du kan vara skyldig mig fem äpplen, eller fem dollar När folk började göra redovisning och bokföring behövde vi det konceptet."

På samma sätt är vi i dag alla bekanta med tanken att om vi skriver stora checkar för att betala för saker men inte har tillräckligt med pengar för att täcka dem, kan vi ha ett negativt saldo på våra bankkonton.

Beräkna med komplexa och imaginära tal

Ett annat sätt att titta på negativa siffror – och det kommer väl till pass senare – är att tänka på att gå runt i en stadsdel, säger Moore.

Om du gör en fel sväng och i motsatt riktning från vår destination – säg fem kvarter söderut, när du borde ha åkt norrut – kan du tänka dig att gå fem negativa kvarter norrut.

"Genom att uppfinna negativa tal expanderar det ditt matematiska universum och gör det möjligt för dig att prata om saker som var svåra förut", säger Moore.

Imaginära tal och komplexa tal - det vill säga tal som innehåller en imaginär komponent - är ett annat exempel på denna typ av kreativt tänkande. Som Moore förklarar det:"Om jag frågar dig, vad är kvadratroten ur nio, det är lätt, eller hur? Svaret är tre – även om det också kan vara negativt tre," eftersom multiplicera två negativa resultat resulterar i ett positivt.

Men vad är kvadratroten av negativ? Finns det ett tal, multiplicerat med sig självt, som ger dig ett negativt? "På en nivå finns det inget sådant nummer", säger Moore.

Men renässansens matematiker kom på ett smart sätt kring det problemet. "Innan vi uppfann negativa tal fanns det inget sådant tal som var två minus sju", fortsätter Moore. "Så vi kanske borde uppfinna ett tal som är kvadratroten ur negativ ett. Låt oss ge det ett namn. i ."

När de väl kom på konceptet med ett imaginärt tal, upptäckte matematiker att de kunde göra några riktigt coola saker med det. Kom ihåg att att multiplicera ett positivt med ett negativt tal är lika med ett negativt tal, men att multiplicera två negativa med varandra är lika med ett positivt tal.

Men vad händer när du börjar multiplicera i gånger sju och sedan gånger i igen? Eftersom i gånger i är negativ ett, är svaret negativt sju. Men om du multiplicerar sju gånger i gånger i gånger i gånger i , plötsligt får du positiva sju. "De tar bort varandra", konstaterar Moore.

Tänk på det nu. Du tog ett imaginärt tal, kopplade in det i en ekvation flera gånger och fick ett verkligt tal som du vanligtvis använder i den verkliga världen.

Imaginära tal är punkter på ett plan

Det var inte förrän några hundra år senare, i början av 1800-talet, som matematiker upptäckte ett annat sätt att förstå imaginära tal:att tänka på dem som punkter på ett plan, förklarar Mark Levi. Han är professor och chef för matematikavdelningen vid Penn State University och författare till 2012 års bok "Why Cats Land on Their Feet:And 76 Other Physical Paradoxes and Puzzles."

När vi tänker på tal som punkter på en linje och sedan lägger till en andra dimension, "är punkterna på det planet de imaginära talen", säger han.

Föreställ dig en tallinje. När du tänker på ett negativt tal är det 180 grader från de positiva talen på linjen. "När du multiplicerar två negativa tal lägger du till deras vinklar, 180 grader plus 180 grader, och du får 360 grader. Det är därför det är positivt", förklarar Levi.

Men du kan inte sätta kvadratroten av negativ någonstans på X-axeln. Det går bara inte. Men om du skapar en Y-axel som är vinkelrät mot X, har du nu en plats att placera den på.

Och även om imaginära siffror bara verkar vara ett gäng matematiskt razzle-dazzle, är de faktiskt väldigt användbara för vissa viktiga beräkningar i den moderna tekniska världen, som att beräkna luftflödet över en flygplansvinge, eller räkna ut hur energin töms. från motstånd kombinerat med svängning i ett elektriskt system.

Komplexa tal med imaginära komponenter är också användbara i teoretisk fysik, förklarar Rolando Somma, en fysiker som arbetar med kvantberäkningsalgoritmer vid Los Alamos National Laboratory.

"På grund av deras relation till trigonometriska funktioner är de användbara för att beskriva till exempel periodiska funktioner", säger Somma via e-post. "Dessa uppstår som lösningar på vågekvationerna, så vi använder komplexa tal för att beskriva olika vågor, till exempel en elektromagnetisk våg. Såsom i matematik är komplexa kalkyler i fysiken ett extremt användbart verktyg för att förenkla beräkningar."

Komplexa tal har också en roll i kvantmekaniken, en teori som beskriver naturens beteende i skalan av atomer och subatomära partiklar.

"I kvantmekaniken förekommer jag explicit i Schrödingers ekvation", förklarar Somma. "Därför verkar komplexa tal ha en mer grundläggande roll i kvantmekaniken snarare än att bara fungera som ett användbart beräkningsverktyg."

"Tillståndet för ett kvantsystem beskrivs av dess vågfunktion", fortsätter han. "Som en lösning på Schrodingers ekvation är denna vågfunktion en superposition av vissa tillstånd, och talen som förekommer i superpositionen är komplexa. Interferensfenomen inom kvantfysik kan till exempel enkelt beskrivas med hjälp av komplexa tal."

Nu är det intressant

Imaginära siffror nämns också i Dan Browns bästsäljare "The Da Vinci Code" från 2003 och Thomas Pynchons roman "Against the Day" från 2012.

Den här artikeln har uppdaterats i samband med AI-teknik, sedan faktagranskad och redigerad av en HowStuffWorks-redaktör.

Vanliga frågor

Vad är imaginära tal?

Imaginära tal är tal som, när de kvadreras, resulterar i ett negativt tal. Konceptet skapades först på 1400- och 1500-talen för att lösa komplexa ekvationer.

Vad är ett komplext tal?

Ett komplext tal är ett tal som innehåller både en reell del och en imaginär del. Det representeras som en kombination av ett reellt tal och ett imaginärt tal (bi).

Kan du förklara det komplexa planet?

Det komplexa planet är ett tvådimensionellt plan där komplexa tal plottas. Den horisontella axeln representerar den verkliga delen, och den vertikala axeln, ofta kallad den imaginära axeln, representerar den imaginära delen.

Hur hittar du kvadratrötter från negativa tal?

Kvadratrötterna av negativa tal involverar användningen av den imaginära enheten 'i'. Till exempel är kvadratroten ur -1 i, och kvadratroten ur -9 är 3i.

Kan imaginära tal användas för att lösa andragradsekvationer?

Ja, imaginära tal kan vara avgörande för att hitta rötterna till andragradsekvationer som inte har några riktiga lösningar.

Hur samverkar imaginära och reella tal i talsystemet?

Imaginära och reella tal samexisterar inom det bredare begreppet komplexa tal. De kan interagera genom operationer som addition, subtraktion, multiplikation och division.