Matematiker arbetar med att lösa problem. I processen med dessa problemlösningsförsök utforskar de idéer och kommer ibland på andra matematiska problem att mixtra med. Vissa av dessa problem kan ta generationer av matematiker hela karriären att lösa, och vissa kräver hjälp av en superdator. Andra verkar helt enkelt olösliga – även om den allmänna konsensus är att vi ska kunna reda ut alla matematiska problem så småningom.
Innehåll
Collatz-förmodan, eller "3n+1-problemet", är ett som vi fortfarande väntar på att få lösa. Collatz-förmodan, som introducerades 1937 av den tyske matematikern Lothar Collatz, är en till synes okomplicerad fråga med ett förvånansvärt svårfångat svar. Gissningen antyder att om du upprepar två enkla aritmetiska operationer kommer du så småningom att omvandla varje positivt heltal till talet ett. Problemet är att det ännu inte har visat sig vara sant för alla heltal. Kanske med något nummer galopperar sekvensen av i det oändliga.
Matematiker har testat miljontals naturliga tal, och ingen har bevisat att det är fel. Men ingen har heller bevisat att det är ovillkorligt korrekt. Den legendariske ungerske matematikern Paul Erdos citeras för att säga:"Matematik kanske inte är redo för sådana problem."
Collatz kom med sin gissning bara två år efter att ha tagit sin doktorsexamen från universitetet i Berlin. För någon som gjorde så mycket viktigt matematiskt arbete i sin karriär, att han är känd för ett nytt problem - ett som skulle kunna testas av en grupp fjärdeklassare - är anmärkningsvärt. Även om alla beräkningar stödjer tanken att gissningen är sann, gör det faktum att den har varit olöst i 86 år det desto mer spännande.
Collatz-sekvensen kallas också "3n + 1"-sekvensen eftersom den genereras genom att börja med ett positivt tal och bara följa två enkla regler:Om det är jämnt, dividera det med två, och om det är udda, tredubbla det och lägg till en. Därför "3n + 1." Följ dessa två regler om och om igen, och gissningen säger att, oavsett startnummer, kommer du alltid så småningom att nå nummer ett.
Börja till exempel med siffran sju. Det är ett udda tal, så du ger den den gamla behandlingen 3n + 1, vilket är lika med 22. Det är ett jämnt tal, vilket betyder att du måste halvera det, vilket ger oss 11. Här är beräkningen för resten av sekvensen :
11 x 3 =33 + 1 =34 34 / 2 =17 17 x 3 =51 + 1 =52 52 / 2 =26 26 / 2 =13 13 x 3 =39 + 1 =40 40 / 2 =20 20 / 2 =10 10 / 2 =5 5 x 3 =15 + 1 =16 16 / 2 =8 8 / 2 =4 4 / 2 =2 2 / 2 =1
Så om du börjar med siffran sju är Collatz-sekvensen 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Om du gör det igen från siffran ett, ett udda tal, du multiplicerar med tre och lägger till ett. Därifrån får du fyra, vilket snabbt minskar tillbaka till ett. Detta börjar loopen som aldrig tar slut.
Ett annat namn för siffrorna som genereras i Collatz-förmodan är "hagelstenssekvensen". Som du kan se från sekvensen som listas ovan går siffrorna upp och ner och upp och ner som hagelstenar i ett stormmoln, lyfts upp, samlar is och, efter att ha fallit i en lägre del av molnet, blåser de uppåt igen. Vid något tillfälle rasar de till marken. Det finns vissa siffror som, när du når dem i dina beräkningar, faller snabbast, men de faller alla så småningom till ett.
Så, Collatz gissningar fungerar för miljoner och åter miljoner siffror - allt med färre än 19 siffror, ifall du funderar på att pröva lyckan med något mindre - men ett av problemen matematiker försöker lösa är varför i> . Om de förstod det skulle de ha ett sätt att med säkerhet säga att det fungerar på alla naturliga tal.
En sak som gör Collatz-förmodan så förvirrande är att den involverar ett oändligt antal heltal. Inte ens den mest kraftfulla superdatorn kan kontrollera varje enskilt nummer för att se om gissningarna stämmer. Inte ännu, åtminstone.
En matematiker under de senaste åren har gjort lite av ett genombrott på Collatz-förmodan. Terence Tao, en av det senaste århundradets mest begåvade matematiker, publicerade en artikel 2019 med titeln "Nästan alla Collatz-banor uppnår nästan begränsade värden." Tao är inte slarvig – han tog sin doktorsexamen. från Princeton vid 21 års ålder och blev den yngste matematikprofessorn någonsin vid UCLA vid 24. Han vann Fields Medal, den högsta matematikutmärkelsen i hela landet, vid 31 års ålder. Och ändå hans stora nyhet om hans Collatz genombrott har två "nästan" i sig.
I grund och botten pekar Taos resultat på en ny metod för att närma sig problemet och noterar hur sällsynt det skulle vara för ett antal att avvika från Collatz-regeln. Sällsynt, men inte nödvändigtvis obefintlig.
Och det, vänner, är det närmaste någon har kommit de senaste åren för att lösa Collatz-förmodan. Kom ihåg att om du ska försöka lösa det själv, börja med siffror som börjar med minst 20 siffror.
Nu är det intressantFermats sista teorem är ett matematiskt problem som förblev olöst i 365 år. Det bevisades slutligen 1995.
