Lösning: Schrödinger-ekvationen för detta system är:$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{ \partial y^2} \right )\psi(x,y)+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\psi(x,y)=E\psi (x,y)$$
Vi kan separera variablerna och anta att vågfunktionen kan skrivas som en produkt av två funktioner, $\psi(x,y)=X(x)Y(y)$. Ersätter detta i Schrödinger-ekvationen och dividerar med $ XY$, vi får:
$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=\frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}+\frac{1}{2}m \omega^2(x^2+y^2)=E$$
LHS för denna ekvation beror endast på x, medan RHS endast beror på y. Därför måste båda sidorna vara lika med en konstant, vilket vi kan beteckna med $E_n$,
$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=E_n , \frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}=E-E_n.$$
Dessa är två oberoende endimensionella harmoniska oscillatorproblem, och deras lösningar är välkända. Energiegenvärdena för rörelsen i x-riktningen är:
$$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right), n=0,1,2,...$$
På liknande sätt ges energiegenvärdena för rörelsen i y-riktningen av samma formel. Därför är de totala energiegenvärdena för det tvådimensionella systemet:
$$E_{n_x,n_y}=\hbar\omega\left(n_x+n_y+1\right), n_x,n_y=0,1,2,...$$
Motsvarande egenfunktioner är produkter av de endimensionella harmoniska oscillatorvågfunktionerna:
$$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y),$$
där
$$\phi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n \ vänster(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \right) e^{-m\omega x^2/2\hbar},$$
och $H_n$ är de hermitiska polynomen.
