Tröghetsmomentet för vilket objekt som helst kan hittas med hjälp av kalkylen och formeln för tröghetsmomentet för en punktmassa.


Rotation Kinetic Energy Equation |

Formeln för roterande kinetisk energi ges av:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2

Där I
är objektets tröghetsmoment och ω
är objektets vinkelhastighet i radianer per sekund (rad /s). SI-enheten för roterande kinetisk energi är joule (J).

Formen för den roterande kinetiska energiformeln är analog med den translationella kinetiska energifekvationen; tröghetsmoment spelar massans roll, och vinkelhastigheten ersätter linjär hastighet. Observera att den roterande kinetiska energiekvationen ger samma resultat för en punktmassa som den linjära ekvationen gör.

Om vi föreställer oss en punktmassa m och rör sig i en radiecirkel r
med hastigheten v
, då är dess vinkelhastighet ω \u003d v /r och dess tröghetsmoment är mr ^{2. Båda kinetiska energiekvationerna ger samma resultat som förväntat:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v /r) ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} \\ frac {m \\ avbryt {r ^ 2} v ^ 2} {\\ avbryt {r ^ 2}} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d KE_ {lin}}

Om ett objekt både roterar och dess masscentrum rör sig längs en rak linje (som till exempel med ett rullande däck), är total kinetisk energi och är summan av den roterande kinetiska energin och den translationella kinetiska energin:
KE_ {tot} \u003d KE_ {rot} + KE_ {lin} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} { 2} mv ^ 2 Exempel med användning av formel för roterande kinetisk energi

Formel för roterande kinetisk energi har många tillämpningar. Det kan användas för att beräkna den enkla kinetiska energin hos ett snurrande objekt, för att beräkna den kinetiska energin hos ett rullande objekt (ett objekt som genomgår både rotations- och translationell rörelse) och för att lösa för andra okända. Tänk på följande tre exempel:

Exempel 1: Jorden snurrar runt sin axel ungefär en gång var 24 timmar. Om vi antar att den har en enhetlig densitet, vad är dess roterande kinetiska energi? (Jordens radie är 6,37 × 10 ^{6 m, och dess massa är 5,97 × 10 24 kg.)}

För att hitta den roterande kinetiska energin måste vi först hitta ögonblicket för tröghet. Genom att närma oss Jorden som en fast sfär får vi:
I \u003d \\ frac {2} {5} mr ^ 2 \u003d \\ frac {2} {5} (5.97 \\ times10 ^ {24} \\ text {kg}) (6,37 \\ gånger10 ^ 6 \\ text {m}) ^ 2 \u003d 9,69 \\ gånger10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2

Vinkelhastigheten är 2π radianer /dag. Att konvertera detta till rad /s ger:
2 \\ pi \\ frac {\\ text {radians}} {\\ avbryt {\\ text {dag}}} \\ frac {1 \\ avbryt {\\ text {dag}}} {86400 \\ text {sekunder}} \u003d 7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}

Så jordens roterande kinetiska energi är då:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} { 2} Jag \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (9,69 \\ gånger10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2) (7,27 \\ gånger10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}) ^ 2 \u003d 2,56 \\ gånger 10 ^ {29} \\ text {J}

Roligt faktum: Detta är mer än 10 gånger den totala energin som solen släpper ut på en minut!

Exempel 2: En enhetlig cylinder med massan 0,75 kg och radien 0,1 m rullar över golvet med en konstant hastighet av 4 m /s. Vad är dess kinetiska energi?

Den totala kinetiska energin ges av:
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2

I detta fall är I \u003d 1/2 mr ^{2 tröghetsmomentet för en solid cylinder, och ω
är relaterad till den linjära hastigheten via ω \u003d v /r_ ._}

Förenkla uttrycket för total kinetisk energi och ansluta värden ger:
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} (\\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v /r) ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {1} {4} mv ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {3} { 4} mv ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {3} {4} (0,75 \\ text {kg}) (4 \\ text {m /s}) \u003d 2,25 \\ text {J}

Observera att vi inte behöver även använda radien! Den avbröts på grund av det direkta förhållandet mellan rotationshastighet och linjär hastighet.

Exempel 3: En student på en cykel kuster nerför en kulle från vila. Om kullens vertikala höjd är 30 m, hur snabbt går studenten längst ner på kullen? Anta att cykeln väger 8 kg, ryttaren väger 50 kg, varje hjul väger 2,2 kg (ingår i cykelvikten) och varje hjul har en diameter på 0,7 m. Ungefärliga hjulen som ringar och antar att friktion är försumbar.

Här kan vi använda mekanisk energibesparing för att hitta sluthastigheten. Den potentiella energin på toppen av kullen förvandlas till kinetisk energi längst ner. Den kinetiska energin är summan av den translationella kinetiska energin för hela person + cykelsystem och däckens roterande kinetiska energi.

Systemets totala energi:
E_ {tot} \u003d PE_ { överst} \u003d mgh \u003d (50 \\ text {kg} + 8 \\ text {kg}) (9,8 \\ text {m /s} ^ 2) (30 \\ text {m}) \u003d 17,052 \\ text {J}

Formeln för total energi i termer av kinetiska energier längst ner i backen är:
E_ {tot} \u003d KE_ {bottom} \u003d \\ frac {1} {2} I_ {däck} \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {1} {2} (2 \\ gånger m_ {däck} \\ gånger r_ {däck} ^ 2) (v /r_ {däck}) ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d m_ {däck} v ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d (m_ {däck } + \\ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2

Lösning för v
ger:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {E_ {tot}} {m_ {däck} + \\ frac {1} {2} m_ {tot}}}

Till slut, koppla in siffror får vi vårt svar:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {17,052 \\ text {J}} { 2.2 \\ text {kg} + \\ frac {1} {2} 58 \\ text {kg}}} \u003d 23.4 \\ text {m /s}