Skillnaden mellan klassisk mekanik och kvantmekanik är enorm. I klassisk mekanik har partiklar och objekt tydligt definierade positioner, men i kvantmekanik (före en mätning) kan en partikel endast sägas ha ett antal möjliga positioner, vilka beskrivs i termer av sannolikheter med vågfunktionen. >

Schrodinger-ekvationen definierar vågfunktionen hos kvantmekaniska system och att lära sig använda och tolka den är en viktig del av varje kurs i kvantmekanik. Ett av de enklaste exemplen på en lösning på denna ekvation är för en partikel i en ruta.
Vågfunktionen

I kvantmekanik representeras en partikel av en vågfunktion. Detta betecknas vanligtvis av den grekiska bokstaven psi ( Ψ
) och det beror på både position och tid, och den innehåller allt som kan kännas om partikeln.

Modulen för denna funktion kvadrat säger dig sannolikheten för att partikeln kommer att hittas på position x
vid tiden t
, förutsatt att funktionen är "normaliserad." Detta betyder bara justerat så att det är säkert att hittas vid någon
position x
vid tiden t
när resultaten på varje plats summeras, dvs. normaliseringsvillkoret säger att:
\\ int _ {- \\ infty} ^ \\ infty \\ vertΨ \\ vert ^ 2 \u003d 1

Du kan använda vågfunktionen för att beräkna förväntningsvärdet för en partikels position vid tiden t
, där förväntningsvärdet bara betyder det genomsnittliga värdet du skulle få för x
om du upprepade mätningen ett stort antal gånger. Naturligtvis betyder det inte att det blir resultatet du skulle få för en given mätning - det är effektivt och slumpmässigt, även om vissa platser oftast är väsentligt mer troliga än andra.

Det finns många andra mängder som du kan beräkna förväntningsvärden för, till exempel momentum och energivärden, liksom många andra "observerbara".
Schrodinger Equation

Schrodinger-ekvationen är en differentiell ekvation som är van vid hitta värdet för vågfunktionen och egenstatistiken för partikelns energi. Ekvationen kan härledas från bevarande av energi och uttryck för kinetisk och potentiell energi hos en partikel. Det enklaste sättet att skriva det är:
H (Ψ) \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partiell t}

Men här H
representerar den Hamiltonian operatören, som i sig är en ganska långt uttryck:
H \u003d \\ frac {−ℏ} {2m} \\ frac {\\ parti ^ 2} {\\ partiell x ^ 2} + V (x)

Här, m
är massan, ℏ är Plancks konstant dividerat med 2π, och V
( x
) är en allmän funktion för systemets potentiella energi. Hamiltonian har två distinkta delar - den första termen är den kinetiska energin i systemet och den andra termen är den potentiella energin.

Varje observerbart värde i kvantmekanik är associerat med en operatör och i den tidsoberoende version av Schrodinger-ekvationen, Hamiltonian är energioperatören. Men i den tidsberoende versionen som visas ovan genererar Hamiltonian också tidsutvecklingen för vågfunktionen.

Genom att kombinera all information som finns i ekvationen kan du beskriva utvecklingen av partikeln i rymden och tid och förutsäga de möjliga energivärdena för det.
The Time-Independent Schrodinger Equation