Lagranges rörelseekvationer är en uppsättning differentialekvationer av andra ordningen som beskriver rörelsen hos ett system av partiklar. De härleds från principen om minsta handling, som säger att den faktiska vägen som ett system tar mellan två punkter är den som minimerar handlingsintegralen.

Handlingsintegralen definieras som integralen av Lagrangian över tid:

$$S =\int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}, t) dt$$

där $q_i$ är de generaliserade koordinaterna för systemet, $\dot{q_i}$ är deras tidsderivator och $L$ är lagrangian. Lagrangian är en funktion av de generaliserade koordinaterna, deras tidsderivator och tid.

Principen om minsta handling säger att den faktiska väg som ett system tar mellan två punkter är den som minimerar handlingsintegralen. Detta kan uttryckas matematiskt som:

$$\delta S =0$$

där $\delta S$ är variationen av handlingsintegralen.

Lagranges rörelseekvationer kan härledas från principen om minsta verkan genom att använda variationskalkylen. Variationskalkylen är en gren av matematiken som handlar om att hitta funktioner som minimerar eller maximerar en funktion.

För att hitta de funktioner som minimerar handlingsintegralen måste vi hitta variationerna av handlingsintegralen och sätta dem lika med noll. Variationerna av handlingsintegralen ges av:

$$\delta S =\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t\right) dt$$

där $\delta q_i$, $\delta \dot{q_i}$ och $\delta t$ är variationerna av de generaliserade koordinaterna, deras tidsderivator och tid.

Genom att ställa in variationerna av handlingsintegralen lika med noll får vi:

$$\frac{\partial L}{\partial q_i} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)$$

Dessa är Lagranges rörelseekvationer. De är en uppsättning andra ordningens differentialekvationer som beskriver rörelsen hos ett system av partiklar.

Exempel:

Betrakta en partikel med massa $m$ som rör sig i en endimensionell potential $V(x)$. Lagrangian för detta system är:

$$L =\frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)$$

Den generaliserade koordinaten för detta system är $x$, och dess tidsderivata är $\dot{x}$. Lagrangian är en funktion av $x$, $\dot{x}$ och $t$.

Lagranges rörelseekvation för detta system är:

$$\frac{\partial L}{\partial x} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)$$

Genom att ersätta Lagrangian i denna ekvation får vi:

$$- \frac{\partial V}{\partial x} =m \frac{d^2 x}{dt^2}$$

Detta är Newtons andra rörelselag för en partikel med massa $m$ som rör sig i en endimensionell potential $V(x)$.