• Home
  • Kemi
  • Astronomien
  • Energi
  • Naturen
  • Biologi
  • Fysik
  • Elektronik
  •  science >> Vetenskap >  >> Andra
    Vad är Pythagorean-identiteter?

    De flesta kommer ihåg Pythagorean-teoremet från nybörjargeometri - det är en klassiker. Det är a
    2 + b
    2 \u003d c
    2, där a
    , b
    och c
    är sidorna på en höger triangel ( c
    är hypotenusen). Det här teoremet kan också skrivas om för trigonometri!

    TL; DR (för långt; läste inte) |

    TL; DR (för långt; läste inte)

    Pytagoreiska identiteter är ekvationer som skriver Pythagoreiska teorem i termer av triggfunktionerna.

    De huvudsakliga Pythagoreiska identiteterna är:

    sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) \u003d 1

    1 + tan 2 ( θ
    ) \u003d sec 2 ( θ
    )

    1 + barnsäng 2 ( θ
    ) \u003d csc 2 ( θ
    )

    Pythagorean identiteter är exempel på trigonometriska identiteter: likheter (ekvationer) som använder trigonometriska funktioner.
    Varför är det viktigt?

    De Pythagoreiska identiteterna kan vara mycket användbara för att förenkla komplicerade trig-uttalanden och ekvationer. Memorera dem nu, och du kan spara dig mycket tid på vägen!
    Bevis med definitionerna av trig-funktionerna.

    Dessa identiteter är ganska enkla att bevisa om du tänker på definitionerna av trig-funktionerna. funktioner. Låt oss till exempel bevisa att sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) \u003d 1.

    Kom ihåg att definitionen av sinus är motsatt sida /hypotenuse, och att kosinus är angränsande sida /hypotenuse.

    Så sin 2 \u003d motsatt 2 /hypotenuse 2

    Och cos 2 \u003d intill 2 /hypotenuse 2

    Du kan enkelt lägga till dessa två eftersom nämnarna är desamma.

    sin 2 + cos 2 \u003d (mittemot 2 + intill 2) /hypotenuse 2

    Nu titta vid Pythagorean Theorem. Det säger att a
    2 + b
    2 \u003d c
    2. Tänk på att a
    och b
    står för motsatta och intilliggande sidor, och c
    står för hypotenusen.

    Du kan ordna om ekvation genom att dela båda sidor med c
    2:

    a
    2 + b
    2 \u003d c
    2

    ( a
    2 + b
    2) / c
    2 \u003d 1

    Eftersom a
    2 och b
    2 är motsatta och intilliggande sidor och c
    2 är hypotenusen, du har ett motsvarande uttalande till det ovan, med (mittemot 2 + intill 2) /hypotenuse 2. Och tack vare arbetet med a
    , b
    , c
    och Pythagoras teorem, kan du nu se detta uttalande lika med 1!

    Så (mittemot 2+ intill 2) /hypotenuse 2 \u003d 1,

    och därför: sin 2 + cos 2 \u003d 1.

    (Och det är bättre att skriva ut det ordentligt: sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) \u003d 1).
    De ömsesidiga identiteterna

    Låt oss spendera några minuter på att titta på de ömsesidiga identiteterna också. Kom ihåg att det ömsesidiga är ett dividerat med ("över") ditt nummer - även känt som det omvända.

    Eftersom cosecant är det ömsesidiga av sinus, csc ( θ
    ) \u003d 1 /sin ( θ
    ).

    Du kan också tänka på kosekant med definitionen av sinus. Till exempel sinus \u003d motsatt sida /hypotenus. Det inversa av det är den bråkdel som vänds upp och ner, som är hypotenus /motsatt sida. cos ( θ
    ), eller hypotenuse /intilliggande sida.

    Och tangentens ömsesidiga är cotangent, så barnsäng ( θ
    ) \u003d 1 /solbränna ( θ
    ), eller barnsäng \u003d intilliggande sida /motsatt sida.

    Korrektionen för de Pythagoreiska identiteterna med hjälp av sekant och kosekant är mycket lik den för sinus och kosinus. Du kan också härleda ekvationerna med "förälder" -ekvationen, sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) \u003d 1. Dela båda sidor med cos 2 ( θ
    ) för att få identiteten 1 + solbränna 2 ( θ
    ) \u003d sek 2 ( θ
    ). Dela båda sidor med sin 2 ( θ
    ) för att få identiteten 1 + barnsäng 2 ( θ
    ) \u003d csc 2 ( θ
    ).

    Lycka till och se till att memorera de tre Pythagoreiska identiteterna!

    © Vetenskap http://sv.scienceaq.com