De verkliga siffrorna är alla siffror på en sifferrad som sträcker sig från negativ oändlighet genom noll till positiv oändlighet. Denna konstruktion av uppsättningen reella tal är inte godtycklig utan snarare resultatet av en utveckling från de naturliga siffrorna som används för att räkna. Systemet med naturliga siffror har flera inkonsekvenser, och när beräkningarna blev mer komplexa utvidgades nummersystemet för att ta itu med dess begränsningar. Med verkliga siffror ger beräkningar konsekventa resultat, och det finns få undantag eller begränsningar som fanns med de mer primitiva versionerna av nummersystemet.
TL; DR (för lång; läste inte)
Uppsättningen av verkliga siffror består av alla siffror på en nummerrad. Detta inkluderar naturliga siffror, hela siffror, heltal, rationella nummer och irrationella siffror. Det inkluderar inte imaginära nummer eller komplexa siffror.
Naturliga nummer och stängning.
Stängning är egenskapen för en uppsättning siffror som betyder att om tillåtna beräkningar utförs på siffror som är medlemmar i uppsättningen, svaren kommer också att vara nummer som är medlemmar i uppsättningen. Uppsättningen sägs vara stängd.
Naturliga siffror är räkningsnumren, 1, 2, 3 ... och uppsättningen med naturliga nummer är inte stängd. Eftersom naturliga nummer användes i handeln uppstod omedelbart två problem. Medan de naturliga siffrorna räknade riktiga föremål, till exempel kor, om en jordbrukare hade fem kor och sålde fem kor, fanns det inget naturligt antal för resultatet. System med tidigt nummer utvecklade mycket snabbt en term för noll för att lösa detta problem. Resultatet var systemet med hela siffror, som är de naturliga siffrorna plus noll.
Det andra problemet var också förknippat med subtraktion. Så länge antalet räknade riktiga föremål som kor, kunde bonden inte sälja fler kor än han hade. Men när siffrorna blev abstrakta gav subtraktion av större antal från mindre siffror svar utanför hela siffrorna. Som ett resultat infördes heltal, som är hela siffrorna plus negativa naturliga siffror. Numreringssystemet inkluderade nu en komplett sifferrad men bara med heltal.
Rationella siffror
Beräkningar i ett slutet nummersystem ska ge svar inom nummersystemet för operationer som tillägg och multiplikation men också för deras inversa operationer, subtraktion och delning. Systemet med heltal är stängt för tillägg, subtraktion och multiplikation men inte för delning. Om ett heltal delas med ett annat heltal är resultatet inte alltid ett heltal.
Att dela ett litet heltal med ett större ger ett bråk. Sådana fraktioner lades till talsystemet som rationella nummer. Rationella nummer definieras som valfritt antal som kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Alla godtyckliga decimaler kan uttryckas som ett rationellt tal. Till exempel är 2.864 2864/1000 och 0.89632 är 89632 /100.000. Numrelinjen tycktes nu vara fullständig.
Irrationella siffror
Det finns siffror på talraden som inte kan uttryckas som en bråkdel av heltal. Den ena är förhållandet mellan sidorna på en rätvinklad triangel och hypotenusen. Om två av sidorna på en rätvinklad triangel är 1 och 1, är hypotenusen kvadratroten av 2. Kvadratroten av två är en oändlig decimal som inte upprepas. Sådana siffror kallas irrationella, och de inkluderar alla verkliga siffror som inte är rationella. Med denna definition är numreringsraden för alla verkliga siffror komplett eftersom alla andra verkliga nummer som inte är rationella ingår i definitionen av irrationell.
Infinity
Även om den verkliga talraden sägs sträcka sig från negativ till positiv oändlighet, är oändligheten i sig inte ett verkligt tal utan snarare ett begrepp av nummersystemet som definierar det som en kvantitet som är större än något nummer. Matematisk oändlighet är svaret på 1 /x när x når noll, men delning med noll definieras inte. Om oändligheten var ett nummer skulle det leda till motsägelser eftersom oändligheten inte följer aritmetikens lagar. Till exempel är oändlighet plus 1 fortfarande oändlighet.
Imaginary Numbers
Uppsättningen med verkliga siffror är stängd för tillägg, subtraktion, multiplikation och delning förutom delning med noll, vilket inte är definierat. Uppsättningen är inte stängd för åtminstone en annan operation.
Reglerna för multiplikation i uppsättningen verkliga siffror anger att multiplikationen av ett negativt och ett positivt tal ger ett negativt tal medan multiplikationen av positivt eller negativt siffror ger positiva svar. Detta innebär att det speciella fallet att multiplicera ett tal med sig själv ger ett positivt tal för både positiva och negativa siffror. Det inversa i detta speciella fall är kvadratroten till ett positivt tal, vilket ger både ett positivt och negativt svar. För kvadratroten av ett negativt nummer finns det inget svar i uppsättningen av verkliga siffror.
Konceptet med uppsättningen av imaginära nummer behandlar frågan om negativa kvadratrotar i de verkliga siffrorna. Kvadratroten på minus 1 definieras som i och alla imaginära siffror är multiplar av i. För att slutföra sifferteori definieras uppsättningen komplexa nummer som inkluderar alla verkliga och alla imaginära nummer. Riktiga nummer kan fortsätta att visualiseras på en horisontell sifferrad medan imaginära nummer är en vertikal sifferrad, varvid de båda korsar noll. Komplexa siffror är punkter i planet för de två sifferlinjerna, var och en med en verklig och en imaginär komponent.
