Du kan representera vilken linje som helst som du kan diagram på en tvådimensionell x-y-axel med en linjär ekvation. Ett av de enklaste algebraiska uttryck, en linjär ekvation är en som relaterar den första kraften hos x till den första kraften hos y. En linjär ekvation kan anta en av tre former: lutningspunktformen, lutningsavlyssningsformen och standardformen. Du kan skriva standardformuläret på ett av två likvärdiga sätt. Den första är:

Axe + Av + C \u003d 0

där A, B och C är konstanter. Det andra sättet är:

Ax + By \u003d C

Observera att dessa är generaliserade uttryck, och konstanterna i det andra uttrycket är inte nödvändigtvis samma som i det första. Om du vill konvertera det första uttrycket till det andra för specifika värden på A, B och C, måste du skriva Ax + By \u003d -C.
Avleda standardformuläret för en linjär ekvation

En linjär ekvation definierar en linje på xy-axeln. Att välja valfri två punkter på linjen, (x _{1, y 1) och (x 2, y 2), gör att du kan beräkna lutningen på linjen (m). Per definition är det "stigningen under loppet" eller förändringen i y-koordinaten dividerad med förändringen i x-koordinaten.}

m \u003d ∆y /∆x \u003d (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1)}

Låt nu (x _{1, y 1) vara en speciell punkt (a, b ) och låt (x 2, y 2) undefineras, det vill säga alla värden på x och y. Uttrycket för sluttning blir}

m \u003d (y - b) /(x - a), vilket förenklar till

m (x - a) \u003d y - b

Detta är linjens sluttningsform. Om du istället för (a, b) väljer punkten (0, b) blir denna ekvation mx \u003d y - b. Omarrangering för att sätta y av sig själv på vänster sida ger dig lutningens skärningsform av linjen:

y \u003d mx + b

Lutningen är vanligtvis ett bråknummer, så låt det vara lika till (-A) /B). Du kan sedan konvertera detta uttryck till standardformuläret för en rad genom att flytta x-termen och konstanten till vänster och förenkla:

Ax + By \u003d C, där C \u003d Bb eller

Axe + Av + C \u003d 0, där C \u003d -Bb
Exempel 1

Konvertera till standardform: y \u003d 3 /4x + 2

1. Multiplicera båda sidorna med 4
   
   

   4y \u003d 3x + 2
   

2. Dra 3x från båda sidorna
   
   

   4y - 3x \u003d 2
   

3. Multiplicera med -1 till Gör x-Term Positiv
   
   

   3x - 4y \u003d 2
   

   Denna ekvation är i standardform. A \u003d 3, B \u003d -2 och C \u003d 2
   
   Exempel 2
   

   Hitta standardformalekvationen för linjen som passerar genom punkterna (-3, -2) och (1, 4).
   

   1. Hitta sluttningen
      
      

      m \u003d (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1) \u003d [1 - (-3)] /[4 - 2] \u003d 4/2}
      

      m \u003d 2
      

   2. Hitta lutningspunktsform med sluttning och en av punkterna
      
      

      Den generiska sluttningsformen är m (x - a) \u003d y - b. Om du använder punkten (1, 4) blir detta
      

      2 (x - 1) \u003d y - 4
      

   3. Förenkla
      
      

      2x - 2 - y + 4 \u003d 0
      

      2x - y + 2 \u003d 0
      

      Denna ekvation är i standardform Ax + By + C \u003d 0 där A \u003d 2, B \u003d -1 och C \u003d 2