Säg att du måste shoppa och du har en budget. Du vill köpa pasta och bröd för en stor grupp, men du kan inte spendera mer än tjugo dollar. I teorin kan du bara köpa bröd och ingen pasta eller massor av bröd och bara en låda med pasta. Hur många olika kombinationer av pastaskar och bröd kan du köpa? Och hur kan du få ut det mesta av var och en för dina pengar?

Problem som dessa kallas linjära ojämlikheter: ekvationer vars graf är en linje, men istället för att använda likhetstecknet använder de ojämlikhetssymboler som> eller < .

TL; DR (för lång; har inte läst)

För att lösa en linjär ojämlikhet måste du hitta alla kombinationer av x
och y
som gör ojämlikheten sann. Du kan lösa linjära ojämlikheter med hjälp av algebra eller genom diagram.

För att lösa en linjär ojämlikhet (eller någon ekvation) måste du hitta alla kombinationer av x
och y
som gör den ekvationen sann.

Du kan lösa linjära ojämlikheter algebraiskt eller så kan du representera lösningarna i en graf (eller båda!). Låt oss gå igenom några exempelproblem tillsammans.
Lösa linjära ojämlikheter algebraiskt

Den här processen är nästan samma som att lösa en linjär ekvation, men med ett viktigt undantag. Ta en titt på problemet nedan.

−4_x_ - 6> 12 - x

Först får du alla x
-es på samma sida av "större än" -tecknet. Lägg till x
på båda sidor för att avbryta x
på höger sida och bara ha x
till vänster.

- 4_x_ (+ x
) - 6> 12 - x
(+ x
)

−3_x_ - 6> 12.

Lägg nu till sex på båda sidor:

−3_x_ - 6 (+ 6)> 12 (+ 6)

−3_x_> 18.

Hittills har detta varit precis som alla linjära ekvationer. När du delar båda sidorna av en ojämlikhet med ett negativt tal måste du ändra riktningen för ojämlikhetssymbolen.

Så för −3_x_> 18 kommer vi att dela båda sidorna med −3, och då kommer vi att vända> -tecknet till ett <-tecken.

x
<−6 - Graf Linjära ojämlikheter

Vad sägs om grafering? Återigen liknar processen verkligen linjära ekvationer, men det finns en viktig skillnad. Eftersom du måste ange alla
av kombinationerna x
och y
som gör en ojämlikhet sann, kommer du att rita linjen som vanligt och sedan kommer att skugga i avsnittet i diagrammet som ger dig resten av de möjliga lösningarna.

Till exempel, hur skulle du diagram ojämlikheten y
<3_x_ + 6?

Först märker du att ojämlikheten är i form av sluttningsavlyssning, vilket innebär att vi kan använda y
-skärning och sluttningen för att snabbt grafera linjen.

y
-avlyssning är 6, så rita en punkt vid (0, 6), använd sedan det faktum att lutningen är 3 för att gå upp tre enheter och en enhet till höger, dra sedan en punkt. Din poäng bör vara vid (1, 9). För att göra en linje snygg och vacker är det trevligt att få tre poäng, så dra en poäng till genom att börja vid (1, 9) och gå upp tre, över en igen. Du får en poäng på (2, 12). Rita nu en linje genom att ansluta punkterna.

Bra! Du ritade precis jämlikheten y
\u003d 3_x_ + 6, men kom ihåg att den ursprungliga ekvationen är y
<3_x_ + 6. Använd detta enkla trick för att skugga rätt del av grafen: när ojämlikhet är i form av sluttning, om du har y
<, skugga i allt under linjen. Om du har y
>, skugga i allt ovanför raden.

Men dubbelkontrollera för att se till! När du skuggar i en hel del av diagrammet betyder det att någon av dessa punkter bör göra ekvationen sann. Ta en slumpmässig punkt som du har skuggat in och anslut x
och y
till den ursprungliga ojämlikheten. Om det fungerar är du bra att gå. Om det inte gör det, måste du dubbelkontrollera din diagram och /eller din algebra.

En sista sak: när du har> eller <, måste raden på diagrammet prickas! När ojämlikheten använder ≥ eller ≤, måste linjen vara solid. Detta visar huruvida punkterna på själva linjen ingår i lösningen eller inte.
Lös system för linjära ojämlikheter.

Att lösa ett system med linjära ojämlikheter är mycket likt att lösa system för ekvationer. Grafering är det enklaste sättet att lösa linjära ojämlikheter.

För att grafera ett system med linjära ojämlikheter, diagram din första ojämlikhet som du gjorde ovan och skugga i områdena ovanför eller under din linje. Grafer sedan den andra ojämlikheten. Återigen kommer du att skugga i alla delar av grafen som gör ojämlikheten sann. Oftast finns det ett område på grafen som du har skuggat över två gånger! Detta är lösningen på systemet med ojämlikheter, eftersom det är det avsnitt i diagrammet där båda ojämlikheterna är sanna.