"Sine" är matematisk kortfattning för förhållandet mellan två sidor av en höger triangel, uttryckt som en bråkdel: Den sida som är mittemot vilken vinkel du mäter är fraktionens tecken och hypotenusen i den högra triangeln är nämnaren. När du behärskar det här konceptet blir det en byggsten för en formel som kallas sines lagen, som kan användas för att hitta saknade vinklar och sidor för en triangel så länge du känner till minst två av dess vinklar och en sida, eller två sidor och en vinkel.
Recapping the Sines Law

Sines lagen säger att förhållandet mellan en vinkel i en triangel till sidan mittemot den kommer att vara detsamma för alla tre vinklarna i en triangel . Eller, för att uttrycka det på ett annat sätt:

sin (A) / a
\u003d sin (B) / b
\u003d sin (C) / c,
där A, B och C är triangelns vinklar och a, b
och c
är längderna på sidorna mitt emot dessa vinklar.

Denna form är den mest användbara för att hitta saknade vinklar. Om du använder sineslagen för att hitta den saknade längden på en sida av triangeln, kan du också skriva den med sines i nämnaren:

a
/sin (A ) \u003d b
/sin (B) \u003d c
/sin (C)
Hitta en saknad vinkel med synderlagen

Föreställ dig att du har en triangel med en känd vinkel - låt oss säga vinkel A mäter 30 grader. Du känner också till måttet på triangelns två sidor: sida a
, som är motsatt vinkel A, mäter 4 enheter, och sidan b och mäter 6 enheter.

1. Fyll i känd information
   
   

   Mata in all den kända informationen i den första formen av sineslagen, som är bäst för att hitta saknade vinklar:
   

   sin (30) /4 \u003d sin (B) /6 \u003d sin (C) / c
   
   

   Välj sedan ett mål; i det här fallet, hitta mått på vinkel B.
   

2. Ställ in problemet
   
   

   Ställa in problemet är lika enkelt som att ställa in det första och det andra uttrycket för denna ekvation lika med var och en Övrig. Du behöver inte oroa dig för den tredje terminen just nu. Så du har:
   

   sin (30) /4 \u003d sin (B) /6
   

3. Hitta det kända synvärdet
   
   

   Använd en kalkylator eller ett diagram för att hitta sinus för den kända vinkeln. I det här fallet, synd (30) \u003d 0,5, så du har:
   

   (0.5) /4 \u003d sin (B) /6, vilket förenklar till:
   

   0.125 \u003d sin (B) /6
   

4. Isolera den okända vinkeln
   
   

   Multiplicera varje sida av ekvationen med 6 för att isolera sinusmätningen av den okända vinkeln. Detta ger dig:
   

   0.75 \u003d sin (B)
   

5. Slå upp den okända vinkeln
   
   

   Hitta den omvända sinus eller bågskalet för den okända vinkeln med din kalkylator eller ett bord. I det här fallet är den omvända sinus på 0,75 ungefär 48,6 grader.
   
   
   

   Varningar
   

6. Se upp för det tvetydiga fallet med sintralag som kan uppstå om du är, som i detta problem, med tanke på längden på två sidor och en vinkel som inte är mellan dem. Det tvetydiga fallet är helt enkelt en varning om att det i denna specifika uppsättning omständigheter kan finnas två möjliga svar att välja mellan. Du har redan hittat ett möjligt svar. För att analysera ett annat möjligt svar, subtrahera vinkeln du just hittade från 180 grader. Lägg till resultatet i den första kända vinkeln du hade. Om resultatet är mindre än 180 grader är det "resultatet" du just lagt till i den första kända vinkeln en andra möjlig lösning.
   
   
   
   Hitta en sida med Sines Law
   

   Föreställ dig att du har en triangel med kända vinklar på 15 och 30 grader (låt oss kalla dem A respektive B), och längden på sidan a
   , som är motsatt vinkel A, är 3 enheter lång .
   

   1. Beräkna den saknade vinkeln
      
      

      Som tidigare nämnts, lägger de tre vinklarna i en triangel alltid upp till 180 grader. Så om du redan känner till två vinklar kan du hitta måttet på den tredje vinkeln genom att subtrahera de kända vinklarna från 180:
      

      180 - 15 - 30 \u003d 135 grader
      

      Så den saknade vinkeln är 135 grader.
      

   2. Fyll i känd information
      
      

      Fyll den information du redan känner till i formen för sineslagen med hjälp av den andra formen (som är lättast när man beräknar en saknad sida):
      

      3 /sin (15) \u003d b
      /sin (30) \u003d c
      /sin (135)
      

   3. Välj ett mål
      
      

      Välj vilken saknad sida du vill hitta längden på. I detta fall, för bekvämlighets skull, hitta längden på sidan b.
      
      

   4. Ställ in problemet
      
      

      För att ställa in problemet, du ' Jag väljer två av sinusrelationerna i sineslagen: Den som innehåller ditt mål (sidan b
      ) och den du redan känner till all information för (det är sidan a
      och vinkel A). Ställ in de två sinusrelationerna lika med varandra:
      

      3 /sin (15) \u003d b
      /sin (30)
      

   5. Lös för målet
      
      

      Lös nu för b
      . Börja med att använda din kalkylator eller en tabell för att hitta värdena på sin (15) och sin (30) och fylla dem i din ekvation (för detta exempel, använd bråk 1/2 istället för 0.5), vilket ger dig :
      

      3 /0.2588 \u003d b
      /(1/2)
      

      Observera att din lärare kommer att berätta hur långt (och om) du ska runda dina sinusvärden. De kan också be dig att använda det exakta värdet på sinusfunktionen, som i fallet med synd (15) är det väldigt röriga (√6 - √2) /4.
      

      Nästa, förenkla båda sidor av ekvationen, kom ihåg att dela med en bråkdel är densamma som att multiplicera med dess inversa:
      

      11.5920 \u003d 2_b_
      

      Växla sidorna på ekvationen för bekvämlighets skull, eftersom variabler vanligtvis listas till vänster:
      

      2_b_ \u003d 11.5920
      

      Och slutligen, slutför att lösa för b.
      I det här fallet behöver du bara dela båda sidorna av ekvationen med 2, som ger dig:
      

      b
      \u003d 5.7960
      

      Så den saknade sidan av din triangel är 5.7960 enheter lång. Du kan lika gärna använda samma procedur för att lösa för sidan c
      , genom att ställa in sin term i sines lagen lika med termen för sida a
      , eftersom du redan vet att sidans fulla information.