Föreställ dig att du står mitt i en perfekt cirkulär arena. Du ser ut mot folkmassorna längs arenans sidor, och du ser din bästa vän på en plats och din lärare i gymnasiet ett par delar över. Vad är avståndet mellan dem och dig? Hur långt skulle du behöva gå för att resa från din väns plats till din lärares plats? Vilka är måtten på vinklarna mellan er? Dessa är alla frågor relaterade till centrala vinklar.

En central vinkel är den vinkel som bildas när två radier dras från mitten av cirkeln till dess kanter. I det här exemplet är de två radierna dina två siktlinjer från dig, i mitten av arenan, till din vän och din siktlinje till din lärare. Vinkeln som bildas mellan dessa två linjer är den centrala vinkeln. Det är vinkeln närmast cirkelns centrum.

Din vän och din lärare sitter längs cirkelns omkrets eller kanter. Vägen längs arenan som förbinder dem är en båge.
Hitta mittvinkeln från båglängd och omkrets |

Det finns ett par ekvationer som du kan använda för att hitta den centrala vinkeln. Ibland får du båglängden, avståndet längs omkretsen mellan två punkter. (I exemplet är detta avståndet du skulle behöva gå runt arenan för att komma från din vän till din lärare.) Förhållandet mellan central vinkel och båglängd är:

(båglängd) ÷ omkrets \u003d (central vinkel) ÷ 360 °

Den centrala vinkeln kommer att vara i grader.

Denna formel är meningsfull om du tänker på det. Längden på bågen utifrån den totala längden runt cirkeln (omkrets) är samma proportion som bågens vinkel utifrån den totala vinkeln i en cirkel (360 grader).

För att använda denna ekvation effektivt, du behöver veta cirkelns omkrets. Men du kan också använda denna formel för att hitta båglängden om du känner till den centrala vinkeln och omkretsen. Eller, om du har båglängden och den centrala vinkeln, kan du hitta omkretsen!
Hitta den centrala vinkeln från båglängden och radien.

Du kan också använda radien för cirkeln och bågen längd för att hitta den centrala vinkeln. Kalla måtten på mittvinkeln θ. Sedan:

θ \u003d s ÷ r, där s är båglängden och r är radien. θ mäts i radianer.

Återigen kan du ordna denna ekvation beroende på vilken information du har. Du kan hitta längden på bågen från radien och den centrala vinkeln. Eller så kan du hitta radien om du har den centrala vinkeln och båglängden.

Om du vill att båglängden ska se ut så är ekvationen så här:

s \u003d θ * r, där s är båglängden, r är radien och θ är den centrala vinkeln i radianerna.
The Central Angle Theorem

Låt oss lägga till en twist till ditt exempel där du är i arenan med din granne och din lärare. Nu finns det en tredje person som du känner på arenan: din granne granne. Och en sak till: De är bakom dig. Du måste vända dig för att se dem.

Din granne är ungefär över arenan från din vän och din lärare. Från din grannas synvinkel finns det en vinkel som bildas av deras siktlinje till vännen och deras siktlinje för läraren. En inskriven vinkel är en vinkel som bildas av tre punkter längs en cirkelns omkrets.

The Central Angle Theorem förklarar förhållandet mellan storleken på den centrala vinkeln, bildad av dig, och den inskriven vinkeln, bildad av din granne. Centralvinkelsatsen säger att den centrala vinkeln är två gånger den inskriven vinkeln. (Detta antar att du använder samma slutpunkter. Du tittar båda på läraren och vännen, inte någon annan).

Här är ett annat sätt att skriva det. Låt oss kalla din väns säte A, din lärarstol B och din grannstol C. Du i mitten kan vara O.

Så, för tre punkter A, B och C längs en cirkelns omkrets och punkt O i mitten, den centrala vinkeln ∠AOC är två gånger den inskriven vinkeln ∠ABC.

Det vill säga ∠AOC \u003d 2∠ABC.

Detta är vettigt. Du är närmare vännen och läraren, så för dig ser de längre isär (en större vinkel). Till din granne på andra sidan stadion ser de mycket närmare varandra (en mindre vinkel).
Undantag från centralvinklarna

Nu, låt oss flytta upp saker. Din granne på yttersidan av arenan börjar röra sig! De har fortfarande en siktlinje för vänen och läraren, men linjerna och vinklarna fortsätter att växla när grannen rör sig. Gissa vad: Så länge grannen stannar utanför bågen mellan vän och granne, stämmer Centralvinkelsetningen fortfarande!

Men vad händer när grannen rör sig mellan vänner och läraren? Nu är din granne inne i den mindre bågen, det relativt lilla avståndet mellan vän och lärare jämfört med det större avståndet runt resten av arenan. Sedan når du ett undantag från Central Angle Theorem.

Undantaget från Central Angle Theorem säger att när punkt C, grannen, är inne i den mindre bågen, är den inskriven vinkeln tillägget till halva den centrala vinkeln . (Kom ihåg att en vinkel och dess tillägg läggs till 180 grader.)

Så: inskriven vinkel \u003d 180 - (central vinkel ÷ 2)

Eller: ∠ABC \u003d 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualisera

Math Open Reference har ett verktyg för att visualisera Central Angle Theorem och dess undantag. Du får dra "grannen" till alla olika delar av cirkeln och se vinklarna ändras. Prova om du vill ha en visuell eller extra övning!