För att konstruera en vektor som är vinkelrät mot en annan given vektor kan du använda tekniker baserade på punktprodukten och tvärprodukten av vektorer. Vektornas punktprodukt A = (a1, a2, a3) och B = (b1, b2, b3) är lika med summan av produkterna i motsvarande komponenter: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Om två vektorer är vinkelräta, så är deras punktprodukt lika med noll. Korsprodukten av två vektorer definieras som A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). Korsprodukten av två icke parallella vektorer är en vektor som är vinkelrätt mot dem båda.

Två dimensioner - Dotprodukt

Skriv ner en hypotetisk, okänd vektor V = (v1, v2).

Beräkna punktprodukten av denna vektor och den givna vektorn. Om du får U = (-3,10) är prickprodukten V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.

Ställ punktprodukten lika med 0 och lösa en okänd komponent i Villkor för den andra: v2 = (3/10) v1.

Välj valfritt värde för v1. Till exempel, låt v1 = 1.

Lös för v2: v2 = 0.3. Vektorn V = (1,0,3) är vinkelrät mot U = (-3,10). Om du väljer v1 = -1, skulle du få vektorn V '= (-1, -0.3), vilket pekar i motsatt riktning av den första lösningen. Dessa är de enda två riktningarna i det tvådimensionella planet vinkelrätt mot den givna vektorn. Du kan skala den nya vektorn till vilken storlek du vill ha. För att till exempel göra en enhetsvektor med storleksordning 1 skulle du konstruera W = V /(magnitud v) = V /(sqrt (10) = (1 /sqrt (10), 0.3 /sqrt (10).

Tre dimensioner - Dotprodukt

Skriv ner en hypotetisk okänd vektor V = (v1, v2, v3).

Beräkna punktprodukten för denna vektor och den givna vektor. Om du får U = (10, 4, -1), då V ∙ U = 10 v1 + 4 v2 - v3.

Ställ punktprodukten lika med noll. Detta är ekvationen för ett plan i tre dimensioner. Varje vektor i det planet är vinkelrätt mot U. Vilken uppsättning av tre siffror som uppfyller 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0 kommer att göra.

Välj godtyckliga värden för v1 och v2, och lösa för v3. Låt v1 = 1 och v2 = 1. Då v3 = 10 + 4 = 14.

Utför prickprovstestet för att visa att V är vinkelrätt mot U: Med prickprovet, vektorn V = (1, 1, 14) är vinkelrätt mot vektorn U: V ∙ U = 10 + 4 - 14 = 0.

Tre dimensioner - Korsprodukt

Välj vilken som helst godtycklig vektor som inte är parallell l till den givna vektorn. Om en vektor Y är parallell med en vektor X, då Y = a * X för någon icke-nollkonstant a. För enkelhet, använd en av grundvärdesvektorerna, till exempel X = (1, 0, 0).

Beräkna korsprodukten av X och U, med U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).

Kontrollera att W är vinkelrätt mot U. W ∙ U = 0 + 4 - 4 = 0. Använd Y = (0, 1, 0) eller Z = (0, 0, 1) skulle ge olika vinkelräta vektorer. De skulle alla ligga i planet definierat av ekvationen 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.