Ett av de mest kända resultaten inom detta område är Keplers gissning, som säger att inget arrangemang av identiska sfärer kan ha en högre densitet än det ansiktscentrerade kubiska (FCC) gittret. Denna gissning föreslogs först 1611 av Johannes Kepler, men den bevisades inte förrän 1998 av Thomas Hales.
FCC-gittret är ett tredimensionellt arrangemang av sfärer där varje sfär är omgiven av 12 andra sfärer. Detta arrangemang har en densitet på cirka 74 %, vilket innebär att cirka 26 % av utrymmet i gallret är tomt.
Keplers gissningar är också sant för andra polyeder, såsom kuber och oktaedrar. De optimala packningsarrangemangen för dessa polyeder är dock mer komplicerade än FCC-gittret.
Till exempel är det optimala packningsarrangemanget för kuber det kroppscentrerade kubiska (BCC) gittret, där varje kub är omgiven av 8 andra kuber. BCC-gallret har en densitet på ca 68%, vilket betyder att ca 32% av utrymmet i gallret är tomt.
Det optimala packningsarrangemanget för oktaedrar är det enkla kubiska (SC) gittret, där varje oktaeder är omgiven av 6 andra oktaedrar. SC-gallret har en densitet på ca 52%, vilket innebär att ca 48% av utrymmet i gallret är tomt.
Forskare och matematiker studerar fortfarande problemet med att packa polyeder i en låda. Det finns många öppna frågor inom detta område, såsom de optimala packningsarrangemangen för andra polyeder och de tätaste arrangemangen som är möjliga för blandningar av olika polyeder.
