Om du skulle ta en kvadrat och dra två diagonaler linjer, skulle de korsa i mitten och bilda fyra rätt trianglar. De två diagonalerna korsar 90 grader. Du kan intuitivt gissa att två diagonaler av en kub, som löper från ett hörn av kuben till dess motsatta hörn och korsar i mitten, också skulle korsa i rät vinkel. Du skulle vara felaktig. Bestämning av vinkeln vid vilken två diagonaler i en kub korsar varandra är något mer komplicerade än det kan visas vid första anblicken, men det gör bra praktik för att förstå principerna för geometri och trigonometri.
Definiera längden på en kant som en enhet. Per definition har varje kant på kuben en identisk längd på en enhet.
Använd Pythagoras teorem för att bestämma längden på en diagonal som går från ett hörn till det motsatta hörnet på samma sida. Kallas det här för en kortfattad diagonal för tydlighetens skull. Varje sida av den högra triangeln som bildas är en enhet, så diagonalen måste vara lika med √2.
Använd Pythagoras teorem för att bestämma längden på en diagonal som går från ett hörn till det motsatta hörnet av motsatt ansikte . Ring detta till en "lång diagonal." Du har en rätt triangel med en sida lika med 1 enhet och en sida som är lika med en "kort diagonal" √2-enheter. Hypotenusens torg är lika med summan av sidorna, så hypotenusen måste vara √3. Varje diagonal som går från ett hörn av kuben till motsatt hörn är √3 enheter långt.
Rita en rektangel för att representera två långa diagonaler som passerar i kubens mitt. Du vill hitta vinkeln på korsningen. Denna rektangel kommer att vara en enhet lång och √2 enheter bred. De långa diagonalerna halverar varandra i mitten av denna rektangel och bildar två olika typer av trianglar. En av dessa trianglar har en sida lika med en enhet och de andra två sidorna är lika med √3 /2 (en halv längd av en lång diagonal). Den andra har också två sidor lika med √3 /2 men dess andra sida är lika med √2. Du behöver bara analysera en av trianglarna, så ta den första och lösa den okända vinkeln.
Använd den trigonometriska formeln c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C för att lösa den okända vinkeln på denna triangel. C = 1, och både a och b är lika med √3 /2. Plugging dessa värden i ekvationen, kommer att bestämma att cosinus av din okända vinkel är 1/3. Med invers cosinus på 1/3 ger en vinkel på 70,5 grader.
