När ett tåg närmar sig eller en ambulans med sin siren närmar sig oss hör vi ljudet med en ökad frekvens, som gradvis minskar något. När den passerar ändras frekvensen abrupt till en lägre och minskar sedan ytterligare. Denna vanliga dopplereffekt kan vara en värdefull ledtråd till naturen hos ett fenomen som till synes helt saknar samband med ljudutbredning:värmetransport.
Brännskador är inte behagliga för någon, men de påverkar fysiker dubbelt:inte bara lider de på normalt sätt, dessutom vet de fortfarande inte vilken mekanism som är ansvarig för värmetransport i system så komplexa som biologiska vävnader.
Är det diffusion, associerad med spridningen av initialt klustrade materiamolekyler? Eller är vågfenomen liknande de som är kända från akustiken ansvariga för värmetransport?
En grupp på tre teoretiker från Institutet för kärnfysik vid den polska vetenskapsakademin (IFJ PAN) i Krakow bestämde sig för att ta itu med problemet med värmetransport med hjälp av telegrafekvationen och dopplereffekten, välkänd för oss från vardagen (och primärt) skola). Resultaten av teamets arbete har just publicerats i International Journal of Heat and Mass Transfer .
Inom fysiken beskrivs vågrörelse med en ekvation som kallas vågekvationen. När telegraftekniken utvecklades under andra hälften av 1800-talet blev det uppenbart att för att beskriva ett meddelande som sänds i morsekod måste denna ekvation modifieras för att ta hänsyn till dämpningen av strömmen som flödar genom mediet där den fortplantar sig, d.v.s. genom telegrafkabeln.
Med telekommunikation i åtanke utvecklades sedan telegrafekvationen för att beskriva hur elektrisk ström utbreder sig med dämpning längs en rumslig dimension.
"Under de senaste åren har den skickligt generaliserade telegrafekvationen hittat en ny tillämpning:den har också börjat användas för att beskriva fenomen relaterade till diffusion eller värmetransport. Detta faktum sporrade oss att ställa en spännande fråga", säger Dr. Katarzyna Gorska (IFJ PAN).
"I lösningar av vågekvationen, d.v.s. utan dämpning, uppstår dopplereffekten. Detta är ett typiskt vågfenomen. Men förekommer det även i lösningar av telegrafekvationer relaterade till värmetransport? I så fall skulle vi ha en utmärkt indikation på att, åtminstone ur teoretisk synvinkel finns det ingen anledning att tro att värmeflödet i system med dämpning – till exempel i biologisk vävnad – inte skulle kunna behandlas som ett vågfenomen."
Den klassiska dopplereffekten är den uppenbara förändringen i frekvensen av vågor som emitteras av en källa som rör sig i förhållande till en observatör. När avståndet mellan källan och observatören minskar, når maxima och minima för de utsända vågorna mottagaren oftare än när avståndet mellan källan och observatören ökar. När det gäller ljudvågor kan vi tydligt höra att ljudet från ett annalkande tåg eller sirenen från en snabbt annalkande ambulans har märkbart högre frekvenser än när dessa fordon rör sig ifrån oss.
Prof. Andrzej Horzela (IFJ PAN) påpekar, "Dopplerfenomenet förekommer i vågekvationer, som vi säger är lokala. Vi förstår lokal här genom att det inte finns någon fördröjning mellan handling och reaktion. Mekanikens principer är till exempel lokal – en förändring i den resulterande kraft som verkar på en kropp resulterar omedelbart i en förändring i dess acceleration.
"Men vi vet alla att vi kan plocka upp en varm kopp och innan vi känner att den brinner passerar en sekund eller två. Fenomenet uppvisar en viss fördröjning; vi säger att det är icke-lokalt, med andra ord, utsmetat i tiden. Ser vi därför dopplereffekten i den generaliserade telegrafekvationen som beskriver tidsutsmetade system?"
Lätt att fråga, svårare att svara. Problemet ligger i själva matematiken. Om allt vi har i ekvationer är derivator och konstanter, så är det vanligtvis små problem att hitta lösningar. Detta är fallet i vågekvationen. Saken blir mer komplicerad när ekvationen bara innehåller integraler, men även då kan man ofta klara sig. Under tiden, i den generaliserade telegrafekvationen, förekommer derivator och integraler samtidigt.
Kärnan i Krakow-fysikernas tidning var därför beviset på att lösningar av den generaliserade telegrafekvationen kan konstrueras från mycket enklare att hitta lösningar på den lokala ekvationen. Här spelades en nyckelroll av det förfarande som inom stokastisk processteori kallas underordning.
Följande exempel hjälper oss att förstå begreppet underordning. Föreställ dig en man som har druckit för mycket, men som modigt försöker gå i en rak linje. Han tar ett steg och står still och väntar på att världen ska sluta snurra. Han tar sedan ytterligare ett steg, förmodligen lite längre eller kortare än det föregående, och stannar igen under en ospecificerad tid.
Den matematiska beskrivningen av en sådan rörelse, som kallas slumpmässig vandring, behöver inte alls vara trivial. Det som verkligen spelar roll är dock inte hur mycket tid vår "vandrare" tillbringar på en given plats, utan vilket avstånd han eller hon i slutändan täcker.
Om tiden mellan stegen var lika, skulle beskrivningen av sjömannens rörelse vara enklare och motsvara en nykter persons rörelse – det skulle helt enkelt vara summan av en sekvens av successiva, smidigt följande steg.
"I vårt tillvägagångssätt består underordning av att ersätta likformigt förfluten fysisk tid, där ekvationerna är komplicerade, med en viss inneboende tid förknippad med fysisk tid, vilket vi gör genom en lämplig funktion som innehåller information om processens tidsmässiga icke-lokalitet. Denna procedur förenklar ekvationerna till en form som gör det möjligt att hitta deras lösningar", säger medförfattare till tidningen Tobiasz Pietrzak, M.Sc, student vid Cracow Interdisciplinary Doctoral School.
Lösningar av den vanliga telegrafekvationen visar egenskaper som är typiska för Dopplereffekten. De visar närvaron av en tydlig, skarp frekvensböjning, motsvarande det ögonblick då källan passerar observatören och det sker en omedelbar, abrupt förändring i tonhöjden på ljudet som registrerats av observatören.
Analogt beteende observerades av Krakow-fysikerna i lösningarna av den generaliserade ekvationen. Det verkar därför som om Dopplereffekten är en grundläggande egenskap hos vågrörelser. Det är dock inte allt. I den fysiska världen har varje våg sin vågfront, som, något förenklat, kan identifieras med dess början och slut. När vi tittar på fronten av vågen (och därför dess vågfront) är Dopplerskiftet lätt att se.
Det visar sig att förändringar i vågfrekvens på grund av förändringar i avståndet mellan observatören och källan även inträffar för vågor som inte visar att det finns en vågfront, t.ex. definieras över ett obegränsat område.
Forskning om vågaspekterna av värmeutbredning kan tyckas vara en mycket abstrakt betraktelse, men dess översättning till vardaglig praktik verkar ganska verklig. Fysiker från IPJ PAN påpekar att den kunskap de har fått kan användas i synnerhet i situationer där värmetransport över korta avstånd är inblandad.
Exempel inkluderar medicinska tillämpningar, där en bättre förståelse av värmetransportmekanismer kan möjliggöra utveckling av säkrare tekniker för att arbeta med laserkirurgiska instrument eller hitta en metod för att avlägsna överskottsvärme från bränd vävnad mer effektivt än tidigare. Kosmetologi, som är intresserad av att minimera oönskade termiska effekter som uppstår under kosmetiska ingrepp, kan också gynnas.
