Du sitter i mattelektionen och försöker överleva ditt senaste popquiz. Svetten sipprar nerför din panna när du läser uppmaningen:"Hitta avståndet mellan dessa punkter."
avståndsformeln du letar efter är ganska okomplicerad och har kopplingar till ett av de mest användbara och kända begreppen inom hela matematiken:Pythagoras sats.
Innehåll
Avståndsformeln är en algebraisk ekvation som används för att hitta längden på ett linjesegment mellan två punkter på en graf, kallat det kartesiska koordinatsystemet (även känt som punktkoordinatplanet).
Detta tvådimensionella plan definieras av två vinkelräta axlar (vanligtvis märkta x-axeln och y-axeln) som skär varandra i en central punkt som kallas origo. Så här uttrycks det:
I ett tvådimensionellt utrymme med två punkter P (x₁, y₁) och Q(x₂, y₂) ges avståndet (d) mellan dessa två punkter av formeln:d =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
I ett tredimensionellt utrymme med två punkter P(x₁, y₁, z₁) och Q(x₂, y₂, z₂) ges avståndet (d) mellan dessa två punkter av formeln:d =√ (x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²
Härnäst tar vi en närmare titt på punktkoordinatplanet, som kan hjälpa dig att hitta exakta fläckar genom deras horisontella och vertikala positioner, väsentliga för allt från matematikproblem till GPS-navigering.
När de flesta människor hör ordet "graf" föreställer de sig ett diagram med två linjer - en vertikal och en horisontell - som skär varandra i rät vinkel.
Den vertikala linjen kallas y-axeln och dess horisontella motsvarighet är x-axeln. Båda raderna samverkar för att berätta en historia med data.
Om du vill förstå var en punkt vilar på din graf, mät var den faller längs de två dimensionerna (x-axeln och y-axeln). Dessa är kända som punktens koordinater.
Du måste hitta koordinaterna för den första punkten och den andra punkten innan du kan beräkna avståndet mellan dem. Du använder avståndsformeln för att mäta det raka linjesegmentet som förbinder de två punkterna.
Låt oss nu utforska det lyckliga förhållandet mellan Pythagoras sats och avståndsformeln.
Pythagoras sats fick sitt namn efter den grekiske filosofen Pythagoras, men över ett årtusende före hans födelse förstod de gamla babylonierna redan den geometriska princip som nu förknippas med hans namn.
I huvudsak berättar Pythagoras sats hur vi hittar den längsta sidan av en triangel när vi vet längden på de andra två sidorna, och avståndsformeln använder denna idé för att mäta hur långt ifrån varandra två punkter är på en graf genom att behandla punkterna som om de är i hörnen av en rätvinklig triangel.
För dem som behöver en snabb uppfräschning säger Pythagoras sats:Arean av kvadraten byggd på hypotenusan i en rät triangel är lika med summan av kvadraternas area på de återstående sidorna.
Det finns några viktiga punkter att förstå här. En rätvinklig triangel, eller rätvinklig triangel, har en vinkel som mäter 90 grader, känd som en rät vinkel. Den längsta sidan av denna triangel kallas hypotenusan, som ligger mittemot den räta vinkeln.
Som vi alla vet kan en triangel ha tre sidor, men en kvadrat har fyra. Så tänk dig att du tar hypotenusan i en rätvinklig triangel och förvandlar den till en av de fyra linjerna i en helt ny kvadrat. Gör sedan samma sak med de andra två sidorna i den ursprungliga triangeln. Du kommer att få tre individuella rutor.
Enligt Pythagoras sats har kvadraten som bildas av hypotenusan en area som är lika med summan av arean av kvadraterna som bildas av de andra två sidorna. Om hypotenusan är märkt "c" och de andra två sidorna är märkta "a" och "b", så skulle vi kunna uttrycka den idén så här:
Den första punkten och andra punkten på din graf har vardera en x-koordinat och en y-koordinat. Du kan beräkna det kortaste avståndet mellan dessa två punkter genom att använda den euklidiska avståndsformeln, som är ett Pythagoras satsrelaterat algebraiskt uttryck.
D =√(x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)²Här, D står för "avstånd". När det gäller x₂ och x₁ hänvisar de till x-koordinaterna för punkt 2 respektive punkt 1. Samma sak gäller för y₂ och y₁, förutom att de är de två y-koordinaterna.
Så för att beräkna avståndet är vårt första steg att subtrahera x₁ från x₂. Sedan måste vi multiplicera det resulterande talet med sig självt (eller, med andra ord, "kvaddra" det talet).
Efter det måste vi subtrahera y₁ från y₂ och sedan kvadrera svaret vi får när vi gör det. Detta ger oss två siffror som vi måste addera tillsammans.
Ta sedan det numret och hitta dess kvadratrot. Och den där kvadratroten , mina damer och herrar, är vårt avstånd.
OK, så låt oss säga att punkt A har en x-koordinat på 2 och en y-koordinat på 5 (2,5). Låt oss också anta att punkt B har en x-koordinat på 9 och en y-koordinat på 13 (9,13). Koppla in dessa värden i den praktiska formeln och du får detta:
D =√(9-2)² + (13-5)²Vad är 9 minus 2? Lätt, 7. Och 13 minus 5 är 8, förstås.
Nu står vi kvar med detta:
D =√7² + 8²Om du "kvadrat" 7 — som i, multiplicerar talet med sig själv — slutar du med 49. När det gäller 8 i kvadrat som blir 64. Låt oss koppla in dessa värden i ekvationen, va?
D =√49 + 64Nu lagar vi mat. Lägg till 49 och 64 så får du 113.
D =√113Vad är kvadratroten av 113? Svaret är 10,63, så därför:
D =10,63Gå vidare och ta ditt nästa popquiz!
Den här artikeln har uppdaterats i samband med AI-teknik, sedan faktagranskad och redigerad av en HowStuffWorks-redaktör.
Nu är det intressantPythagoras var vegetarian. Som Tristam Stuart skriver i sin bok från 2008, "The Bloodless Revolution:A Cultural History of Vegetarianism:From 1600 to Modern Times", undertecknade den antika grekiske filosofen "uppfattningen att allt levande är släkt och följden av att det var fel att orsaka lidande för djur."
