Eftersom temperaturen sjunker kan vi skriva differentialekvationen:

$$\begin{align}\frac{dT}{dt} =k(T-5) \end{align}$$

där k är en positiv konstant.

Genom att separera variabler och integrera får vi:

$$\begin{align} \frac{1}{T-5}dT =kdt\end{align}$$

$$\ln |T-5|=kt+C_1$$

$$T-5=Ce^{kt} $$

$$T=Ce^{kt}+5 $$

Med hjälp av initialvillkoret \(T(0)=20\), finner vi att \(C=15\)

Därför är lösningen till differentialekvationen (1).

$$T(t)=15e^{kt}+5$$

Med det andra givna villkoret \(T(1)=12\), finner vi det

$$12=15e^k+5$$

$$e^k=\frac{7}{10} \därför $$

$$k=\ln\frac{7}{10} $$

Lösningen till differentialekvationen (1) blir alltså:

$$\boxed{T(t)=15 e^{\left ( \ln \frac{7}{10} \right ) t} +5 }$$

Inställningen \(T=6\), får vi äntligen

$$6=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}+5$$

$$1=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$\frac{1}{15}=e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$(\frac{1}{15})^{\frac{1}{\ln \frac{7}{10}}} =t $$

$$t=\frac{\ln{\frac{1}{15}}}{\ln \frac{7}{10}}$$

$$t=\frac{\ln 1-\ln15}{ \ln7-\ln 10} \ca 1,23\text{ minuter}$$

Därför tar det cirka 1,23 minuter för termometern att visa C.