Här är uppdelningen:
1. Sfäriska polära koordinater:
* r: Radiellt avstånd från ursprunget.
* θ: Polär vinkel (vinkel från z-axeln).
* φ: Azimuthal vinkel (vinkel i xy-planet från x-axeln).
2. Hastighet och acceleration:
* hastighet:
* v_r =dr/dt (radiell hastighet)
* v_θ =r dθ/dt (vinkelhastighet i θ -riktningen)
* v_φ =r sin (θ) dφ/dt (vinkelhastighet i φ -riktningen)
* acceleration:
* a_r =d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ² (radiell acceleration)
* a_θ =r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ² (vinkelacceleration i θ -riktningen)
* a_φ =r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt) (vinkelacceleration i φ -riktningen)
3. Newtons andra lag:
* f =ma
* f_r =m a_r
* f_θ =m a_θ
* f_φ =m a_φ
4. Rörelsekvationer:
Genom att ersätta uttryck för acceleration i ekvationerna ovan får vi rörelsekvationerna:
* radiell riktning:
m (d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ²) =f_r
* polär vinkelriktning:
m (r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ²) =f_θ
* azimuthal vinkelriktning:
m (r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt)) =f_φ
5. Viktiga punkter:
* f_r, f_θ, f_φ: Dessa representerar komponenterna i nettokraften som verkar på partikeln i de radiella, polära och azimutala riktningarna.
* lösa ekvationerna: Dessa ekvationer är andra ordningens differentiella ekvationer, och att lösa dem kräver att de initiala förhållandena (position och hastighet vid t =0) och kraften verkar på partikeln.
Exempel:
För en partikel som rör sig under påverkan av en central kraft (som tyngdkraft) är kraftkomponenterna:
* F_r =-k/r² (där k är en konstant)
* F_θ =0
* F_φ =0
Vi ansluter dessa till rörelsekvationerna och får de specifika ekvationerna för en partikel som rör sig under en central kraft i sfäriska polära koordinater.
Låt mig veta om du vill se rörelsekvationerna för specifika kraftfält eller om du har några andra frågor!
