Här är en uppdelning av dess ursprung:
1. Brownian rörelse och Langevin -ekvation:
* Grunden ligger i observationen av brownisk rörelse, den till synes slumpmässiga rörelsen av partiklar suspenderade i en vätska.
* Albert Einstein och Marian Smoluchowski förklarade denna rörelse med hjälp av statistisk mekanik, vilket visade att den orsakas av kontinuerligt bombardemang av partiklarna av molekylerna i den omgivande vätskan.
* Paul Langevin Senare formulerade en differentiell ekvation (Langevin -ekvation) för att modellera rörelsen hos en partikel med förbehåll för både en deterministisk kraft (t.ex. friktion) och en slumpmässig kraft.
2. Ansluta Langevin till sannolikhet:
* Langevin -ekvationen beskriver banan för en enda partikel. För att förstå det kollektiva beteendet hos många partiklar måste vi arbeta med sannolikhetsfördelningar.
* Andrey Kolmogorov och Adriaan Fokker Oberoende utvecklade Fokker-Planck-ekvationen genom att tillämpa en probabilistisk strategi på Langevin-ekvationen.
3. Derivation:
* De använde idén om en diffusionsekvation , som beskriver spridningen av ett ämne på grund av slumpmässig rörelse.
* Genom att överväga drift- och diffusionsvillkoren i Langevin -ekvationen härledde de en partiell differentiell ekvation som styr tidens utveckling av sannolikhetsdensitetsfunktionen.
4. Viktiga bidrag:
* fokker fokuserad på att härleda ekvationen från en specifik fysisk modell, medan Planck arbetade med dess matematiska ram.
* Kolmogorov Senare generaliserade ekvationen för att beskriva en bredare klass av stokastiska processer, vilket ledde till namnet Kolmogorov framåtekvation.
I huvudsak överbryggar Fokker-Planck-ekvationen klyftan mellan den deterministiska beskrivningen av individuell partikelrörelse (Langevin-ekvation) och den sannolikhetsbeskrivningen av det kollektiva beteendet hos många partiklar (sannolikhetsdensitetsfunktion).
Applikationer:
Fokker-Planck-ekvationen har hittat utbredda applikationer inom olika områden, inklusive:
* Fysik: Brownian rörelse, diffusionsprocesser, plasmafysik
* kemi: Kemisk kinetik, reaktionsdiffusionssystem
* biologi: Befolkningsdynamik, genuttryck
* finans: Alternativprissättningsmodeller, tillgångspriser
Det är ett kraftfullt verktyg för att förstå och förutsäga beteendet hos system som omfattas av slumpmässiga fluktuationer.
