Låt oss bryta ner hur vi beräknar det elektriska quadrupolmomentet i den extrema enkelpartikelmodellen.

Förstå grunderna

* Elektriskt quadrupole moment: Denna kvantitet mäter avvikelsen för en laddningsfördelning från sfärisk symmetri. Ett positivt quadrupolmoment indikerar en prolat (fotbollsliknande) form, medan ett negativt ögonblick indikerar en oblat (pannkakeliknande) form.

* Extrem enkelpartikelmodell: Denna modell förenklar kärnan genom att anta att alla nukleoner (protoner och neutroner) utom en är i en sfäriskt symmetrisk kärna. Den enskilda partikeln utanför kärnan bidrar med hela quadrupolmomentet.

Beräkning

1. Tänk på den enda partikeln: Vi måste fokusera på den enda partikeln utanför kärnan. Låt oss anta att den har en laddning *e *och är i en omlopp med vinkelmoment *l *.

2. Kvantisera vinkelmomentet: I kvantmekanik kvantiseras*z*-komponenten för vinkelmomentet, vilket innebär att det bara kan ta på sig diskreta värden:*m*ħ, där*m*sträcker sig från -*l*till +*l*.

3. Definiera Quadrupole Moment Operator: Kvadrupolmomentoperatören, *Q *, ges av:

*Q*=(2/e) σ*i*(3*z _i ² - *r _i ² )

* * i * betecknar varje partikel i kärnan.

* * z _i *är *z *-koordinat för *i *-th-partikeln.

* * r _i *Är det radiella avståndet för *i *-th-partikeln från kärnan.

4. Utvärdera för den enda partikeln: Eftersom vi har att göra med den extrema enpartikelmodellen behöver vi bara överväga den enda partikelns bidrag:

*Q*=(2/e) (3*z ² - *r ² )

5. Express i sfäriska koordinater: Konvertera * z * och * r * till sfäriska koordinater (r, θ, φ):

* * z * =* r * cos (θ)

* * r ² * =* r ² *

6. Förenklade: Ersätt i quadrupolmomentekvationen:

*Q *=(2/e) *r ² (3 cos ² (θ) - 1)

7. Genomsnitt över vinkelkoordinater: Kvadrupolmomentet är ett förväntningsvärde. För att hitta det måste vi i genomsnitt över alla möjliga vinklar:

*Q *=(2/e) *r ² ∫ ₀ ^2π dφ ∫ ₀ ^π synd (θ) (3 cos ² (θ) - 1) dθ

8. Utvärdera integralerna: Den integrerade utvärderingen till:

*Q *=(4/5) *e * *r ²

9. Slututtryck: Det elektriska quadrupolmomentet för en enda partikel i den extrema enkelpartikelmodellen är:

*Q *=(4/5) *e * *r ²

Tolkning

*Kvadrupolmomentet beror på laddningen (*e*) och det radiella avståndet kvadrat (*r ² *) av den enda partikeln.

* En större * r * (partikel längre från kärnan) leder till ett större quadrupolmoment.

* Tecknet på quadrupolmomentet (positivt i detta fall) indikerar en prolatform, i överensstämmelse med en enda partikel som sitter utanför en sfäriskt symmetrisk kärna.

Obs: Denna beräkning antar en enda partikel i kärnan. För verkliga kärnor bidrar flera partiklar, och mer sofistikerade modeller behövs för att exakt beräkna kvadrupolmomentet.