Om du känner till två punkter som faller på en viss exponentiell kurva kan du definiera kurvan genom att lösa den allmänna exponentiella funktionen med hjälp av dessa punkter. I praktiken betyder detta att man ersätter punkterna med y och x i ekvationen y \u003d ab ^{x. Förfarandet är lättare om x-värdet för en av punkterna är 0, vilket betyder att punkten är på y-axeln. Om ingen av punkterna har ett noll x-värde, är processen för att lösa för x och y lite komplicerad.
Varför exponentiella funktioner är viktiga |}

Många viktiga system följer exponentiella mönster av tillväxt och förfall. Till exempel ökar antalet bakterier i en koloni vanligtvis exponentiellt och omgivningsstrålningen i atmosfären efter en kärnkraftshändelse minskar vanligtvis exponentiellt. Genom att ta data och plotta en kurva är forskare i bättre ställning för att göra förutsägelser.
Från ett par punkter till en graf.

Varje punkt på en tvådimensionell graf kan representeras av två siffror, som vanligtvis skrivs i formen (x, y), där x definierar det horisontella avståndet från ursprunget och y representerar det vertikala avståndet. Till exempel är punkten (2, 3) två enheter till höger om y-axeln och tre enheter ovanför x-axeln. Å andra sidan är punkten (-2, -3) två enheter till vänster om y-axeln. och tre enheter under x-axeln.

Om du har två punkter, (x _{1, y 1) och (x 2, y 2), du kan definiera den exponentiella funktionen som passerar genom dessa punkter genom att ersätta dem i ekvationen y \u003d ab ^{x och lösa a och b. I allmänhet måste du lösa detta par ekvationer:}}

y _{1 \u003d ab ^{x1 och y 2 \u003d ab x2,.}}

I denna form ser matematiken lite komplicerad ut, men den ser mindre ut efter att du har gjort några exempel.
En punkt på X-axeln.

Om ett av x-värdena - säg x _{1 - är 0, operationen blir mycket enkel. Till exempel ger lösning av ekvationen för punkterna (0, 2) och (2, 4):}

2 \u003d ab ^{0 och 4 \u003d ab 2. Eftersom vi vet att b 0 \u003d 1 blir den första ekvationen 2 \u003d a. Att ersätta a i den andra ekvationen ger 4 \u003d 2b 2, vilket vi förenklar till b 2 \u003d 2, eller b \u003d kvadratrot av 2, vilket motsvarar ungefär 1,41. Den definierande funktionen är då y \u003d 2 (1.41) x.
Ingen av punkterna på X-axeln.}

Om inget av x-värdet är noll, är att lösa paret av ekvationer något mer besvärligt. Henochmath leder oss genom ett enkelt exempel för att klargöra detta förfarande. I sitt exempel valde han poängparet (2, 3) och (4, 27). Detta ger följande par ekvationer:

27 \u003d ab ⁴

3 \u003d ab ²

Om du delar den första ekvationen med den andra, du får

9 \u003d b ²

så b \u003d 3. Det är möjligt för b att också vara lika med -3, men antar i detta fall att det är positivt.

Du kan ersätta detta värde för b i endera ekvationen för att få en. Det är lättare att använda den andra ekvationen, så:

3 \u003d a (3) ^{2 som kan förenklas till 3 \u003d a9, a \u003d 3/9 eller 1/3.}

Ekvationen som passerar genom dessa punkter kan skrivas som y \u003d 1/3 (3) ^{x.
Ett exempel från den verkliga världen.}

Sedan 1910 har den mänskliga befolkningsökningen varit exponentiell, och genom att planera en tillväxtkurva är forskare i bättre läge att förutsäga och planera för framtiden. 1910 var världsbefolkningen 1,75 miljarder och 2010 var den 6,87 miljarder. Med 1910 som utgångspunkt ger detta poängparet (0, 1,75) och (100, 6,87). Eftersom x-värdet för den första punkten är noll, kan vi enkelt hitta en.

1.75 \u003d ab ^{0 eller a \u003d 1.75. Att koppla detta värde, tillsammans med värdena från den andra punkten, i den allmänna exponentiella ekvationen ger 6,87 \u003d 1,75b 100, vilket ger värdet på b som den hundratals roten av 6,87 /1,75 eller 3,93. Så ekvationen blir y \u003d 1,75 (hundratals rot av 3,93) x. Även om det krävs mer än en slidregel för att göra det, kan forskare använda denna ekvation för att projicera framtida befolkningsantal för att hjälpa politiker i nuet att skapa lämplig politik.}