Det är ibland nödvändigt att hitta en icke-nollvektor som, multiplicerad med en kvadratmatris, kommer att ge oss tillbaka en multipel av vektorn. Denna icke-nollvektor kallas en "egenvektor." Eigenvektorer är inte bara intressanta för matematiker utan även för andra inom yrken som fysik och teknik. För att beräkna dem måste du förstå matrisalgebra och determinanter.

Lär dig och förstå definitionen av en "egenvektor." Det hittas för en n x n kvadratmatris A och även en skalär egenvärde som kallas "lambda". Lambda representeras av den grekiska bokstaven, men här kommer vi att förkorta den till L. Om det finns en icke-nollvektor x där Ax \u003d Lx kallas denna vektor x en "egenvärde av A.".

Hitta egenvärden av matrisen genom att använda den karakteristiska ekvationen det (A - LI) \u003d 0. "Det" står för determinanten, och "I" är identitetsmatrisen.


Beräkna egenvektorn för varje egenvärde genom att hitta en eigenspace E (L), som är nollutrymmet för den karakteristiska ekvationen. De icke-noll-vektorerna för E (L) är egenvektorerna för A. Dessa hittas genom att koppla tillbaka egenvektorerna till den karakteristiska matrisen och hitta en grund för A - LI \u003d 0..

Öva steg 3 och 4 av studera matrisen till vänster. Visad är en kvadratisk 2 x 2-matris.


Beräkna egenvärdena med hjälp av den karakteristiska ekvationen. Det (A - LI) är (3 - L) (3 - L) - 1 \u003d L ^ 2 - 6L + 8 \u003d 0, vilket är det karakteristiska polynomet. Att lösa detta algebraiskt ger oss L1 \u003d 4 och L2 \u003d 2, som är egenvärdena för vår matris.


Hitta egenvektorn för L \u003d 4 genom att beräkna nollutrymmet. Gör detta genom att placera L1 \u003d 4 i den karakteristiska matrisen och hitta grunden för A - 4I \u003d 0. Lösning av detta hittar vi x - y \u003d 0 eller x \u003d y. Detta har bara en oberoende lösning eftersom de är lika, till exempel x \u003d y \u003d 1. Därför är v1 \u003d (1,1) en egenvektor som sträcker sig över rymden på L1 \u003d 4.


Upprepa steg 6 till hitta egenvektorn för L2 \u003d 2. Vi hittar x + y \u003d 0, eller x \u003d --y. Detta har också en oberoende lösning, säg x \u003d --1 och y \u003d 1. Därför är v2 \u003d (--1,1) en egenvektor som sträcker sig över L2 \u003d 2.