Varje algebra student på högre nivåer behöver lära sig att lösa kvadratiska ekvationer. Dessa är en typ av polynomekvation som inkluderar en effekt på 2 men ingen högre, och de har den allmänna formen: ax
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0. Du kan lösa dessa genom att använda den kvadratiska ekvationsformeln, genom att faktorisera eller genom att fylla i kvadratet.</sup>

TL; DR (för lång; har inte läst) |

Först leta efter en faktorisering för att lösa ekvationen. Om det inte finns någon men b-koefficienten är delbar med 2, fyll i rutan. Om ingen av metoderna är enkel, använd den kvadratiska ekvationsformeln.
Använda faktorisering för att lösa ekvationen.

Faktorisering utnyttjar det faktum att den högra sidan av den kvadratiska standardekvationen är lika med noll. Detta innebär att om du kan dela ekvationen upp i två termer inom parentes multiplicerade med varandra kan du lösa lösningarna genom att tänka på vad som skulle göra varje konsol lika med noll. För att ge ett konkret exempel:

x

^{2 + 6_x_ + 9 \u003d 0}

Jämför detta med standardformuläret:

ax

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

I exemplet, < em> a
\u003d 1, b
\u003d 6 och c
\u003d 9. Utmaningen med att faktorisera är att hitta två siffror som läggs samman för att ge numret i b Söka plats och multiplicera tillsammans för att få numret på platsen för c
.

Så representerar siffrorna med d
och e
, letar du efter siffror som uppfyller:

d
+ e
\u003d b

Eller i det här fallet, med b
\u003d 6:

d
+ e
\u003d 6

Och

d
× e
\u003d c

Eller i detta fall med c
\u003d 9:

d
× e
\u003d 9

Fokusera på att hitta siffror som är faktorer för c
, och lägg sedan till dem för att se om de är lika med b
. När du har dina nummer sätter du dem i följande format:

( x
+ d
) ( x
+ e
)

I exemplet ovan är både d
och e
3:

x

<sup>2 + 6_x_ + 9 \u003d ( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Om du multiplicerar parenteserna, Jag kommer att sluta med det ursprungliga uttrycket igen, och det är bra praxis att kontrollera din faktorisering. Du kan köra igenom denna process (genom att multiplicera de första, inre, yttre och sedan sista delarna av parenteserna i tur och ordning - se Resurser för mer detaljer) för att se det i omvänd riktning:

( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d ( x
× x
) + (3 × x
) + ( x
× 3) + (3 × 3)

\u003d x
^{2 + 3_x_ + 3_x_ + 9}

\u003d x

^{2 + 6_x_ + 9}

Faktorisering går effektivt igenom denna process i omvänd riktning, men det kan vara utmanande att räkna ut rätt sätt att faktorera kvadratisk ekvation, och detta av denna anledning är metoden inte idealisk för varje kvadratisk ekvation. Ofta måste du gissa på en faktorisering och sedan kontrollera den.

Problemet gör nu att något av uttryckena inom parentes kommer att vara lika med noll genom ditt val av värde för x
. Om endera konsolen är lika med noll, är hela ekvationen lika med noll, och du har hittat en lösning. Titta på det sista steget [( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0] så ser du att den enda gången parenteserna kommer ut till noll är om x
\u003d −3. Men i de flesta fall har kvadratiska ekvationer två lösningar.

Faktorisering är ännu mer utmanande om a
inte är lika med en, men att fokusera på enkla fall är bättre i början.
Slutföra kvadratet för att lösa ekvationen

Att komplettera kvadratet hjälper dig att lösa kvadratiska ekvationer som inte lätt kan faktoriseras. Denna metod kan fungera för alla kvadratiska ekvationer, men vissa ekvationer passar den mer än andra. Tillvägagångssättet innebär att göra uttrycket till ett perfekt torg och lösa det. En generisk perfekt fyrkant expanderar så här:

( x
+ d
) ^{2 \u003d x
2 + 2_dx_ + d
2}

För att lösa en kvadratisk ekvation genom att fylla i kvadratet, få uttrycket till formen till höger om ovanstående. Dela först siffran i läget b
med 2 och kvadrat sedan resultatet. Så för ekvationen:

x

^{2 + 8_x_ \u003d 0}

Koefficienten b
\u003d 8, så b
÷ 2 \u003d 4 och ( b
÷ 2) ^{2 \u003d 16.}

Lägg till på båda sidor för att få:

x

^{2 + 8_x_ + 16 \u003d 16}

Observera att den här formen matchar den perfekta fyrkantiga formen, med d
\u003d 4, så 2_d_ \u003d 8 och d
^{2 \u003d 16. Detta betyder att:}

x

<sup>2 + 8_x_ + 16 \u003d ( x
+ 4) 2</sup>

Sätt in detta i föregående ekvation för att få:

( x
+ 4) ^{2 \u003d 16}

Lös nu ekvationen för x
. Ta kvadratroten på båda sidor för att få:

x

+ 4 \u003d √16

Dra 4 från båda sidor för att få:

x

\u003d √ (16) - 4

Roten kan vara positiv eller negativ, och att ta den negativa roten ger:

x

\u003d −4 - 4 \u003d −8

Hitta den andra lösningen med den positiva roten:

x

\u003d 4 - 4 \u003d 0

Därför är den enda lösningen utan noll −8. Kontrollera detta med det ursprungliga uttrycket för att bekräfta.
Använda kvadratiska formeln för att lösa ekvationen

Kvadratisk ekvationsformel ser mer komplicerad ut än de andra metoderna, men det är den mest pålitliga metoden och du kan använda den Ekvationen använder symbolerna från den kvadratiska standardekvationen:

ax

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

Och säger att:

x

\u003d [- b

± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Sätt in lämpliga siffror på deras platser och arbeta genom formeln för att lösa, kom ihåg att försöka både subtrahera och lägga till kvadratrottermen och notera båda svaren. För följande exempel:

x

^{2 + 6_x_ + 5 \u003d 0}

Du har a
\u003d 1, b
\u003d 6 och c
\u003d 5. Så formeln ger:

x

\u003d [−6 ± √ (6 ^{2 - 4 × 1 × 5)] ÷ 2 × 1}

\u003d [−6 ± √ (36 - 20)] ÷ 2

\u003d [−6 ± √ (16)] ÷ 2

\u003d (−6 ± 4) ÷ 2

Att ta det positiva tecknet ger:

x

\u003d (−6 + 4) ÷ 2

\u003d −2 ÷ 2 \u003d −1

Och ta negativtecknet ger:

x
\u003d (−6 - 4) ÷ 2

\u003d −10 ÷ 2 \u003d −5

Vilka är de två lösningarna för ekvationen. Hur man bestämmer den bästa metoden löser kvadratiska ekvationer -

Leta efter en faktorisering innan du försöker något annat. Om du kan upptäcka en är detta det snabbaste och enklaste sättet att lösa en kvadratisk ekvation. Kom ihåg att du letar efter två siffror som summerar till b-koefficienten och multiplicerar för att ge c och -koefficienten. För denna ekvation:

x

^{2 + 5_x_ + 6 \u003d 0}

Du kan upptäcka att 2 + 3 \u003d 5 och 2 × 3 \u003d 6, så:

x

<sup>2 + 5_x_ + 6 \u003d ( x
+ 2) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Och x
\u003d −2 eller x
\u003d −3.

Om du inte kan se en faktorisering, kolla om b
-koefficienten är delbar med 2 utan att ta till fraktioner. Om det är så är det troligtvis det enklaste sättet att lösa ekvationen att fylla kvadratet.

Om ingen av metoderna verkar lämplig, använd formeln. Detta verkar vara det svåraste tillvägagångssättet, men om du är på en examen eller på annat sätt drivs för tid kan det göra processen mycket mindre stressande och mycket snabbare.