Ett polynom är ett uttryck som handlar om minskande krafter i "x", som i det här exemplet: 2X ^ 3 + 3X ^ 2 - X + 6. När ett polynom av graden två eller högre är grafiskt, det ger en kurva. Denna kurva kan ändra riktning, där den börjar som en stigande kurva, når en hög punkt där den ändrar riktning och blir en nedåtgående kurva. Omvänt kan kurvan minska till en låg punkt vid vilken punkt det vrider riktning och blir en stigande kurva. Om graden är tillräckligt hög kan det finnas flera av dessa vändpunkter. Det kan finnas lika många vändpunkter som en mindre än graden - storleken på den största exponenten - av polynomet.

Hitta derivatet av polynomet. Detta är ett enklare polynom - en grad mindre - som beskriver hur det ursprungliga polynomet ändras. Derivatet är noll när det ursprungliga polynomet är vid en vändpunkt - den punkt där grafen varken ökar eller minskar. Roten av derivatet är de platser där det ursprungliga polynomet har vändpunkter. Eftersom derivatet har grad en mindre än det ursprungliga polynomet kommer det att finnas en mindre vändpunkt - högst - än graden av det ursprungliga polynomet.

Formulera derivatet av en polynom term efter term. Mönstret är detta: bX ^ n blir bnX ^ (n - 1). Applicera mönstret för varje term, förutom den konstanta termen. Derivat uttrycka förändring och konstanter förändras inte, så derivaten av en konstant är noll. Exempelvis är derivaten av X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13. 15 försvinner eftersom derivatet av 15 eller någon konstant, är noll. Derivat 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13 beskriver hur X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 ändras.

Hitta vändpunkterna för ett exempel polynom X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15. Hitta först derivatet genom att tillämpa mönstermetoden efter term för att få derivatpolynomet 3X ^ 2 -12X + 9. Ställ derivatet på noll och faktor för att hitta rötterna. 3X ^ 2 -12X + 9 = (3X-3) (X-3) = 0. Det betyder att X = 1 och X = 3 är rötter av 3X ^ 2 -12X + 9. Detta innebär att grafen för X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15 kommer att ändra riktningar när X = 1 och när X = 3.

Tips

Det sparar mycket tid om du fakturerar vanliga termer innan du börjar sökningen efter vändpunkter. Till exempel. polynomial 3X ^ 2 -12X + 9 har exakt samma rötter som X ^ 2 - 4X + 3. Fakturering av 3 förenklar allt.

Varning

Graden av derivatet ger maximalt antal rötter. Vid multipla rötter eller komplexa rötter kan derivatet som är inställt på noll ha färre rötter, vilket innebär att det ursprungliga polynomet inte får ändra riktningar så många gånger som du kan förvänta dig. Till exempel har ekvationen Y = (X - 1) ^ 3 inga vändpunkter.