Denna delvy av Mandelbrot -uppsättningen, kanske världens mest kända fraktal, visar steg fyra i en zoomsekvens:Den centrala slutpunkten för "sjöhästsvansen" är också en Misiurewicz -punkt. Wolfgang Beyer/(CC BY-SA 3.0) Fraktaler är en paradox. Otroligt enkelt, men ändå oändligt komplex. Ny, men äldre än smuts. Vad är fraktaler? Var kom de ifrån? Varför skulle jag bry mig?
Okonventionell 1900 -talsmatematiker Benoit Mandelbrot skapade termen fraktal från det latinska ordet fraktus (vilket betyder oregelbunden eller fragmenterad) 1975. Dessa oregelbundna och fragmenterade former finns runt omkring oss. På sitt mest grundläggande, fraktaler är ett visuellt uttryck för ett upprepande mönster eller formel som börjar enkelt och blir gradvis mer komplext.
En av de tidigaste tillämpningarna av fraktaler kom långt innan termen ens användes. Lewis Fry Richardson var en engelsk matematiker i början av 1900 -talet som studerade längden på den engelska kusten. Han menade att längden på en kustlinje beror på mätverktygets längd. Mät med en måttstock, du får ett nummer, men mäta med en mer detaljerad fotlång linjal, som tar hänsyn till mer av kustlinjens oegentlighet, och du får ett större antal, och så vidare.
För detta till sin logiska slutsats och du får en oändligt lång kust som innehåller ett ändligt utrymme, samma paradox som Helge von Koch framförde i Koch Snowflake. Denna fraktal innebär att man tar en triangel och vänder den centrala tredjedelen av varje segment till en triangulär bult på ett sätt som gör fraktalen symmetrisk. Varje bump är, självklart, längre än det ursprungliga segmentet, men ändå innehåller det ändliga utrymmet inuti.
Konstig, men snarare än att konvergera till ett visst tal, omkretsen rör sig mot oändligheten. Mandelbrot såg detta och använde detta exempel för att utforska begreppet fraktaldimension, längs vägen bevisar att mätning av en kust är en övning i approximation [källa:NOVA].
Om fraktaler verkligen har funnits hela tiden, varför har vi bara hört talas om dem under de senaste 40 åren eller så?
Innehåll
I uppsättningen Mandelbrot, punkter som återstår ändliga genom alla iterationer visas vita; värden som avviker till oändligheten visas mörkare. Encyclopaedia Britannica/Contributor/Getty Images Innan vi går in på mer detaljer, vi måste täcka några grundläggande terminologi som hjälper dig att förstå de unika egenskaper som fraktaler har.
Alla fraktaler visar en grad av vad som kallas självlikhet . Det betyder att när du tittar närmare och närmare detaljerna i en fraktal, du kan se en kopia av helheten. En ormbunke är ett klassiskt exempel. Titta på hela frond. Ser du grenarna som kommer ut från huvudstammen? Var och en av dessa grenar liknar hela bladet. De är självliknande originalet, bara i mindre skala.
Dessa självliknande mönster är resultatet av en enkel ekvation, eller matematiskt uttalande. Fraktaler skapas genom att upprepa denna ekvation genom en återkopplingsslinga i en process som kallas iteration , där resultaten av en iteration utgör ingångsvärdet för nästa. Till exempel, om du tittar på insidan av ett nautilusskal, du kommer att se att varje kammare i skalet i grunden är en kolkopia av föregående kammare, bara mindre när du spårar dem från utsidan till insidan.
Fraktaler är också rekursiv, oavsett skala. Har du någonsin gått in i en butiks omklädningsrum och befinner dig omgiven av speglar? För bättre eller sämre, du tittar på en oändligt rekursiv bild av dig själv.
Till sist, en anteckning om geometri. De flesta av oss växte upp med att lära oss den längden, bredd och höjd är de tre dimensionerna, och det är det. Fraktal geometri ger detta koncept en kurva genom att skapa oregelbundna former in fraktal dimension ; fraktaldimensionen hos en form är ett sätt att mäta formens komplexitet.
Ta nu allt det här, och vi kan tydligt se att a ren fraktal är en geometrisk form som är självliknande genom oändliga iterationer i ett rekursivt mönster och genom oändliga detaljer. Enkel, höger? Oroa dig inte, vi kommer att gå igenom alla bitar snart nog.
Katsushika Hokusai använde fraktalbegreppet självlikhet i sin målning "The Great Wave Off Kanagawa" i början av 1800-talet. Allmängods När de flesta tänker på fraktaler, de tänker ofta på den mest kända av dem alla, Mandelbrot -setet. Uppkallad efter matematikern Benoit Mandelbrot, det har praktiskt taget blivit synonymt med begreppet fraktaler. Men det är långt ifrån att vara den enda fraktalen i stan.
Vi nämnde ormbunken tidigare, som representerar en av naturens enkla och begränsade fraktaler. Begränsade fraktaler fortsätter inte på obestämd tid; de visar bara några iterationer av kongruenta former. Enkla och begränsade fraktaler är inte heller exakta i sin självlikhet-en ormbunks broschyrer kanske inte helt efterliknar formen på den större fronden. Spiralen i ett snäckskal och kristallerna i en snöflinga är två andra klassiska exempel på denna typ av fraktal som finns i den naturliga världen. Även om det inte är matematiskt exakt, de har fortfarande en fraktal karaktär.
Tidiga afrikanska och Navajo -konstnärer märkte skönheten i dessa rekursiva mönster och försökte efterlikna dem i många aspekter av deras vardag, inklusive konst och stadsplanering [källor:Eglash, Bales]. Som i naturen, antalet rekursiva iterationer av varje mönster begränsades av skalan på materialet de arbetade med.
Leonardo da Vinci såg också detta mönster i trädgrenar, när trädens lemmar växte och delades upp i fler grenar [källa:Da Vinci]. År 1820, Japanska konstnären Katsushika Hokusai skapade "The Great Wave Off Kanagawa, "en färgstark återgivning av en stor havsvåg där toppen bryts av till mindre och mindre (självliknande) vågor [källa:NOVA].
Matematiker kom så småningom in på lagen också. Gaston Julia kom på idén med att använda en återkopplingsslinga för att producera ett upprepande mönster i början av 1900 -talet. Georg Cantor experimenterade med egenskaper hos rekursiva och självliknande uppsättningar på 1880-talet, och 1904 publicerade Helge von Koch begreppet en oändlig kurva, med ungefär samma teknik men med en kontinuerlig linje. Och naturligtvis, vi har redan nämnt Lewis Richardson utforska Kochs idé medan han försökte mäta engelska kustlinjer.
Dessa undersökningar av så komplex matematik var mestadels teoretiska, dock. Det saknades vid den tiden en maskin som kunde utföra grunt -arbetet med så många matematiska beräkningar på en rimlig tid för att ta reda på vart dessa idéer verkligen ledde. När kraften i datorer utvecklades, så även matematikerns förmåga att testa dessa teorier.
I nästa avsnitt, vi kommer att titta på matematiken bakom fraktal geometri.
En Julia-setfraktal är gränsen för den ifyllda uppsättningen (uppsättningen "exceptionella punkter"). Det finns två typer av Julia -uppsättningar:anslutna uppsättningar (Fatou -set) och Cantor -uppsättningar (Fatou -damm). Encyclopaedia Britannica/UIG Via Getty Images Vi tycker att berg och andra föremål i den verkliga världen har tre dimensioner. I euklidisk geometri tilldelar vi värden till ett objekts längd, höjd och bredd, och vi beräknar attribut som yta, volym och omkrets baserat på dessa värden. Men de flesta föremål är inte enhetliga; berg, till exempel, har taggiga kanter. Fraktal geometri gör att vi mer exakt kan definiera och mäta komplexiteten hos en form genom att kvantifiera hur grov dess yta är. Bergens taggiga kanter kan uttryckas matematiskt:Ange fraktaldimensionen, som per definition är större än eller lika med ett objekts euklidiska (eller topologiska) dimension (D => D T ).
Ett relativt enkelt sätt att mäta detta kallas box-counting (eller Minkowski-Bouligand Dimension) metod. För att prova det, lägg en fraktal på en bit rutnätpapper. Ju större fraktal och mer detaljerat rutnätpapper, desto mer exakt blir måttberäkningen.
D =log N / log (1 / h)
I denna formel, D är dimensionen, N är antalet rutor som innehåller någon del av fraktalen inuti, och h är antalet rutblock som fraktalerna sträcker sig över på grafpappret. Dock, medan denna metod är enkel och lättillgänglig, det är inte alltid det mest exakta.
En av de mer vanliga metoderna för att mäta fraktaler är att använda Hausdorff Dimension, vilket är D =log N / log s, var N är antalet delar en fraktal producerar från varje segment, och s är storleken på varje ny del jämfört med det ursprungliga segmentet. Det ser enkelt ut, men beroende på fraktalen, detta kan bli komplicerat ganska snabbt.
Du kan producera en oändlig mängd fraktaler bara genom att ändra några av de första villkoren för en ekvation; det är här kaosteorin kommer in. På ytan, kaosteori låter som något helt oförutsägbart, men fraktal geometri handlar om att hitta ordningen i det som initialt verkar vara kaotiskt. Börja räkna de många sätten du kan ändra dessa initiala ekvationsförhållanden och du kommer snabbt att förstå varför det finns ett oändligt antal fraktaler.
Du kommer dock inte att rengöra golvet med Menger -svampen, så vad är bra för fraktaler ändå?
Kända fraktaler och deras typerVissa fraktaler börjar med ett grundläggande linjesegment eller struktur och lägger till det. En drakurva är gjord på detta sätt. Andra är reducerande, börjar som en fast form och upprepade gånger subtraherar från den. Sierpinski -triangeln och Menger -svampen är båda i den gruppen. Fler kaotiska fraktaler utgör en tredje grupp, skapad med relativt enkla formler och grafer dem miljontals gånger på ett kartesiskt rutnät eller komplext plan. Mandelbrot -uppsättningen är rockstjärnan i denna grupp, men Strange Attractors är också ganska coola. Dessa bilder är alla uttryck för matematiska formler.
Efter att Mandelbrot publicerade sitt spännande arbete 1975 om fraktaler, en av de första praktiska användningsområdena kom 1978 när Loren Carpenter ville göra några datorgenererade berg. Med hjälp av fraktaler som började med trianglar, han skapade en fantastiskt realistisk bergskedja [källa:NOVA].
På 1990 -talet blev Nathan Cohen inspirerad av Koch Snowflake för att skapa en mer kompakt radioantenn med inget annat än tråd och en tång. I dag, antenner i mobiltelefoner använder sådana fraktaler som Menger -svampen, boxfraktalen och rymdfyllande fraktaler som ett sätt att maximera mottagningskraften i en minimal mängd utrymme [källa:Cohen].
Även om vi inte har tid att gå in på alla användningsområden som fractaler har för oss idag, några andra exempel inkluderar biologi, medicin, modellera vattendelar, geofysik, och meterologi med molnbildning och luftflöden [källa:NOVA].
Den här artikeln är avsedd att komma igång i den uppslukande världen av fraktal geometri. Om du har en matematisk böjning kanske du vill utforska denna värld mycket mer med hjälp av källorna som anges på nästa sida. Mindre matematiskt benägna läsare kanske vill utforska den oändliga potentialen i konsten och skönheten i denna otroliga och komplexa inspirationskälla.
Hur man gör din egen fraktalTa ett tomt papper, och dra en rak linje från mitten till botten. Dra nu två linjer, hälften så lång som den första, kommer ut med 45 graders vinklar upp från toppen av den första raden, bilda ett Y. Gör det igen för varje gaffel i Y. Det är den första iterationen i din fraktal. Fortsätt med varje gaffel. Vid den tredje eller fjärde iterationen börjar du inse varför fraktalgeometri inte utvecklades före datoråldern. Grattis - du har just gjort en fraktalkåpa! Blanda ihop det genom att ändra de inledande raderna något (eller mycket) och se vad som händer.
Ursprungligen publicerat:26 apr. 2011
