Likkantiga linjer är linjer i rymden som passerar genom en enda punkt, och vars parvisa vinklar alla är lika. Bild i 2D de tre diagonalerna av en vanlig hexagon, och i 3D, de sex linjerna som förbinder motsatta hörn av en vanlig ikosaeder. Matematiker är inte begränsade till tre dimensioner, dock.

"I höga dimensioner, saker blir verkligen intressanta, och möjligheterna kan verka obegränsade, säger Yufei Zhao, biträdande professor i matematik.

Men de är inte gränslösa, enligt Zhao och hans team av MIT-matematiker, som försökte lösa detta problem på geometrin hos linjer i högdimensionellt rum. Det är ett problem som forskare har förbryllat i minst 70 år.

Deras genombrott bestämmer det maximala antalet linjer som kan placeras så att linjerna är parvis åtskilda av samma givna vinkel. Zhao skrev uppsatsen med en grupp MIT-forskare bestående av studenterna Yuan Yao och Shengtong Zhang, Ph.D. student Jonathan Tidor, och postdoc Zilin Jiang. (Yao började nyligen som doktorand i matematik vid MIT, och Jiang är nu fakultetsmedlem vid Arizona State University). Deras papper kommer att publiceras i januarinumret 2022 av Annals of Mathematics .

Matematiken för ekvikantiga linjer kan kodas med hjälp av grafteori. Uppsatsen ger nya insikter i ett område inom matematiken som kallas spektralgrafteori, som tillhandahåller matematiska verktyg för att studera nätverk. Spektralgrafteori har lett till viktiga algoritmer inom datavetenskap som Googles PageRank-algoritm för sin sökmotor.

Denna nya förståelse av ekvikantiga linjer har potentiella implikationer för kodning och kommunikation. Likkantiga linjer är exempel på "sfäriska koder, "som är viktiga verktyg inom informationsteori, låta olika parter skicka meddelanden till varandra via en bullrig kommunikationskanal, som de som skickas mellan NASA och dess Mars-rovers.

Problemet med att studera det maximala antalet ekvikantiga linjer med en given vinkel introducerades i en uppsats från 1973 av P.W.H. Lemmens och J.J. Seidel.

"Detta är ett vackert resultat som ger ett förvånansvärt skarpt svar på ett välstuderat problem inom extrem geometri som fick stor uppmärksamhet redan på 60-talet, " säger Princeton University professor i matematik Noga Alon.

Det nya arbetet av MIT-teamet ger vad Zhao kallar "en tillfredsställande lösning på detta problem."

"Det fanns några bra idéer på den tiden, men sedan fastnade folk i nästan tre decennier, " säger Zhao. Det gjordes några viktiga framsteg för några år sedan av ett team av forskare inklusive Benny Sudakov, professor i matematik vid det schweiziska federala tekniska institutet (ETH) Zürich. Zhao var värd för Sudakovs besök på MIT i februari 2018 när Sudakov talade i kombinatorikforskningsseminariet om sitt arbete med ekvikantiga linjer.

Jiang inspirerades att arbeta med problemet med ekvikantiga linjer baserat på arbetet av hans tidigare Ph.D. rådgivare Bukh Boris vid Carnegie Mellon University. Jiang och Zhao slog sig samman sommaren 2019, och fick sällskap av Tidor, Yao, och Zhang. "Jag ville hitta ett bra sommarforskningsprojekt, och jag trodde att detta var ett stort problem att arbeta med, " förklarar Zhao. "Jag trodde att vi kunde göra några fina framsteg, men det var definitivt över mina förväntningar att helt lösa hela problemet."

Forskningen stöddes delvis av Alfred P. Sloan Foundation och National Science Foundation. Yao och Zhang deltog i forskningen genom Institutionen för matematiks sommarprogram för grundforskning (SPUR), och Tidor var deras doktorand mentor. Deras resultat hade gett dem Matematikavdelningens Hartley Rogers Jr.-pris för bästa SPUR-uppsats.

"Det är ett av de mest framgångsrika resultaten av SPUR-programmet, " säger Zhao. "Det är inte varje dag som ett långvarigt öppet problem löses."

Ett av de viktigaste matematiska verktygen som används i lösningen är känd som spektralgrafteori. Spektralgrafteorin berättar för oss hur man använder verktyg från linjär algebra för att förstå grafer och nätverk. En grafs "spektrum" erhålls genom att förvandla en graf till en matris och titta på dess egenvärden.

"Det är som om du lyser med en intensiv ljusstråle på en graf och sedan undersöker spektrumet av färger som kommer ut, " Zhao förklarar. "Vi fann att det emitterade spektrumet aldrig kan vara för hårt koncentrerat nära toppen. Det visar sig att detta grundläggande faktum om spektra av grafer aldrig har observerats."

Arbetet ger ett nytt teorem inom spektralgrafteorin - att en graf med gränsad grad måste ha sublinjär andra egenvärdesmångfald. Beviset kräver smarta insikter som relaterar spektrumet av en graf med spektrumet av små bitar av grafen.

"Beviset fungerade rent och vackert, " Zhao säger. "Vi hade så roligt att arbeta med det här problemet tillsammans."