I geometri är en radian en enhet som används för att mäta vinklar. Radian kommer från cirkelns radie. Segmentet av en cirkelns omkrets som motsvarar vinkeln gjord av två radiuslinjer gör en båge. Den vinkel som denna båge skapar, när du ritar linjer från dess start- och slutpunkter till cirkelns centrum, är en radian. Även om radianen kan tyckas udda och komplicerad till en början, förenklar den ekvationer i matematik och fysik.

TL; DR (för lång; läste inte)

I geometri är en radian en enhet baserad på cirkeln och används för att mäta vinklar. Det underlättar beräkningarna i avancerade typer av matematik. Grader mot radianer.

Utanför fysik och avancerad matematik är grader vanligtvis mer kända enheter för vinkelmätningar. En cirkel har till exempel 360 grader, en triangel har 180 och en rät vinkel har 90. Däremot har en hel cirkel 2 × π (pi) radianer, en triangel har π radianer och en rät vinkel är π ÷ 2 radianer . En cirkel har ett helt antal grader, medan i radianer är värdet ett irrationellt antal, så radianer vid första rodnad kan verka konstigt. Å andra sidan kanske du uttrycker bråkdelar av en examen som en decimal, eller som de minuter, sekunder och decimaler du också använder med tiden, så examen har sina egna frågor.
Enklare och hårdare

Gradmätningar är vanligtvis lättare att hantera än radianer för grundläggande aritmetik och trigonometri; du behöver sällan ta itu med fraktioner av π när du uttrycker en vinkel. Men för kalkyl och annan avancerad matematik visar det sig att radianer är lättare. Exempelvis är kraftserierna för sinusfunktionen i radianer enligt följande:

sin (x) \u003d x - (x ^{3 ÷ 3!) + (X 5 ÷ 5!) - (x 7 ÷ 7!) + (x 9 ÷ 9!) ...}

I grader ser funktionen ut så här:

sin (x) \u003d (π × x ÷ 180) - (π × x ÷ 180) ^{3 ÷ 3! + (π × x ÷ 180) 5 ÷ 5! - (π × x ÷ 180) 7 ÷ 7! + (π × x ÷ 180) 9 ÷ 9! ...}

För denna kraftserie, observera att du måste upprepa “π × x ÷ 180” för varje term - mycket extra skrivning och beräkning jämfört med den neater, mer kompakt ekvivalent i radianer. Radian kommer från den naturliga geometrien i en cirkel snarare än en uppdelning med ett godtyckligt tal, som grader gör. Eftersom radianer gör många beräkningar enklare, tror matematiker på enheten som mer "naturlig" än grader.
Användning för radianer.

Förutom kraftserier som exempel på sinusfunktion, ser du radianer i matematik som involverar kalkyl och differentiella ekvationer. När du till exempel använder radianer är derivatet av sinusfunktionen, sin (x), helt enkelt kosinus, cos (x). I grader är derivatan av sin (x) emellertid det mer besvärliga (π ÷ 180) × cos (x). När du går i matematik blir problemen svårare och lösningarna kräver många fler beräkningsrader och algebra. Radianer sparar dig mycket onödigt extra skrivande och minskar risken för att göra misstag.

I fysik använder formler för frekvensen av vågor och objektets rotationshastighet en liten omega, "ω," som en bekväm kortfattning för “2 × π × radianer per sekund.”
Konvertera grader till radianer

Formlerna för att konvertera grader till radianer och tillbaka igen är enkla. För att konvertera vinklar i grader till radianer multiplicerar du vinkeln med π och delar sedan med 180. Till exempel har en cirkel 360 grader. Multipliserat med π blir det 360π; dela sedan med 180, så får du 2π radianer. För att konvertera från radianer till grader multiplicerar du med 180 och delar sedan med π. Konvertera till exempel en rät vinkel, π ÷ 2 radianer. Multiplicera med 180 för att få 90π, och dela sedan med π för att få resultatet, 90 grader.