En periodisk funktion är en funktion som upprepar dess värden med regelbundna intervall eller "perioder." Tänk på det som en hjärtslag eller den underliggande rytmen i en låt: Den upprepar samma aktivitet på en stadig slå. Grafen för en periodisk funktion ser ut som att ett enda mönster upprepas om och om igen.

TL; DR (för långt; läste inte)

En periodisk funktion upprepar sina värden på regelbundna intervaller eller "perioder."
Typer av periodiska funktioner

De mest kända periodiska funktionerna är trigonometriska funktioner: sinus, kosinus, tangent, cotangent, sekant, kosekant, etc. Andra exempel på periodiska funktioner i naturen inkluderar ljusvågor, ljudvågor och månfaser. Var och en av dessa, när de är ritade på koordinatplanet, gör ett upprepande mönster på samma intervall, vilket gör det enkelt att förutsäga.

Perioden för en periodisk funktion är intervallet mellan två "matchande" punkter på grafen. . Med andra ord, det är avståndet längs x-axeln som funktionen måste resa innan den börjar upprepa sitt mönster. De grundläggande sinus- och kosinusfunktionerna har en period på 2π, medan tangenten har en period på π.

Ett annat sätt att förstå period och upprepning för triggfunktioner är att tänka på dem i termer av enhetscirkeln. I enhetens cirkel går värden runt och runt cirkeln när de ökar i storlek. Den repetitiva rörelsen är samma idé som återspeglas i det stadiga mönstret för en periodisk funktion. Och för sinus och kosinus måste du göra en full sökväg runt cirkeln (2π) innan värdena börjar upprepa.
Ekvation för en periodisk funktion.

En periodisk funktion kan också definieras som en ekvation med denna form:

f (x + nP) \u003d f (x)

Där P är perioden (en icke-nollkonstant) och n är ett positivt heltal.

Till exempel kan du skriva sinusfunktionen på detta sätt:

sin (x + 2π) \u003d sin (x)

n \u003d 1 i detta fall, och perioden, P, för en sinusfunktion är 2π.

Testa den genom att prova ett par värden för x, eller titta på grafen: Välj vilket x-värde som helst, flytta sedan 2π i endera riktningen längs x-axeln; y-värdet ska förbli detsamma.

Prova nu när n \u003d 2:

sin (x + 2 (2π)) \u003d sin (x)

sin (x + 4π) \u003d sin (x).

Beräkna för olika värden på x: x \u003d 0, x \u003d π, x \u003d π /2, eller kontrollera det på grafen.

Cotangentfunktionen följer samma regler, men dess period är π radianer istället för 2π radianer, så dess graf och dess ekvation ser ut så här:

barnsäng (x + nπ) \u003d barnsäng (x)

Observera att tangent- och cotangentfunktioner är periodiska, men de är inte kontinuerliga: Det finns "pauser" i deras diagram.