Alla matematikstudenter och många vetenskapsstudenter möter polynomer på något stadium under sina studier, men tack och lov är de lätt att hantera när du lär dig grunderna. De huvudsakliga operationerna som du behöver göra med polynomiska uttryck är att lägga till, subtrahera, multiplicera och dela, och medan delning kan vara komplex, kan du oftast hantera grunderna med lätthet.
Polynom: Definition och exempel

Polynomial beskriver ett algebraiskt uttryck med ett eller flera termer som involverar en variabel (eller mer än en), med exponenter och eventuellt konstanter. De kan inte inkludera delning med en variabel, kan inte ha negativa eller fraktionella exponenter och måste ha ett begränsat antal termer.

Detta exempel visar ett polynom:

x

<sup>3 + 2 x
2 - 9 x
- 4</sup>

Och detta visar en annan:

xy

<sup>2 - 3 x
+ y</sup>

Det finns många sätt att klassificera polynomer, inklusive i grad (summan av exponenterna på den högsta effektterminen, t.ex. 3 i det första exemplet) och med antalet termer de innehåller, till exempel monomialer (en term), binomialer (två termer) och trinomialer (tre villkor).
Lägga till och subtrahera polynomier

Lägga till och subtrahera polynomier beror på att kombinera "liknande" termer. En liknande term är en med samma variabler och exponenter som en annan, men antalet de multipliceras med (koefficienten) kan vara annorlunda. Till exempel x
^{2 och 4 x
2 är som termer eftersom de har samma variabel och exponent, och 2 xy
4 och 6 xy
4 är likadana termer också. x
2, x
3, x
2 y
2 och < em> y
2 är inte som termer, eftersom var och en innehåller olika kombinationer av variabler och exponenter.}

Lägg till polynom genom att kombinera samma termer på samma sätt som du skulle göra med andra algebraiska termer. Titta till exempel på problemet:

( x
<sup>3 + 3 x
) + (9 x
3 + 2 x
+ y
)</sup>

Samla liknande termer för att få:

( x
<sup>3 + 9 x
3) + (3 x
+ 2 x
) + y</sup>

Och utvärdera sedan genom att enkelt lägga till koefficienterna och kombinera till en enda term:

10 x
<sup>3 + 5 x
+ y</sup>

Observera att du inte kan göra något med y
eftersom det inte har någon liknande term.

Subtraktion fungerar på samma sätt:

(4 x
^{4 + 3 y
2 + 6 y
) - (2 x
4 + 2 y
2 + y
)}

Observera först att alla termer i den högra fästet dras ifrån dem i den vänstra fästet, så skriv det som :

4 x
<sup>4 + 3 y
2 + 6 y
- 2 x
4 - 2 y
2− y</sup>

Kombinera liknande termer och utvärdera för att få:

(4 x
4 - 2 x
<sup>4) + (3 y
2 - 2 y
2) + (6 y
- y
)</sup>

\u003d 2 x
^{4 + y
2 + 5 y}

För ett problem som detta:

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2)</sup>

Observera att minustecknet tillämpas på hela uttrycket i den högra fästen, så de två negativa tecknen före 3_x_ ^{2 blir ett tilläggstecken:}

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2) \u003d 4 xy
+ x
2 - 6 xy
+ 3 x
2</sup>

Beräkna sedan som tidigare.
Multiplicera polynom uttryck

Multiplicera polynom uttryck genom att använda den fördelande egenskapen för multiplikation. Kort sagt multiplicera varje term i det första polynomet med varje term i det andra. Titta på det här enkla exemplet:

4 x
× (2 x
^{2 + y
)}

Du lösa detta med hjälp av den distribuerande egenskapen, så:

4 x
× (2 x
^{2 + y
) \u003d (4 < em> x
× 2 x
2) + (4 x
× y
)}

\u003d 8 x
^{3 + 4 xy}

Lös mer komplicerade problem på samma sätt:

(2 y
^{3 + 3 x
) × (5 x
2 + 2 x
)}

\u003d (2 y
^{3 × (5 x
2 + 2 x
)) + (3 x
× (5 x
2 + 2 x
))}

\u003d (2 y
^{3 × 5 x
2) + (2 y
3 × 2 x
) + (3 x
× 5 x
2) + (3 x
× 2 x
)}

\u003d 10 y och <sup>3 x
2 + 4 < em> y
3 x
+ 15 x
3 + 6 x
2</sup>

Dessa problem kan bli komplicerade för större grupperingar, men grundprocessen är fortfarande densamma.
Dividing Polynomial E xpressions -

Det tar längre tid att dela ut polynomuttryck men du kan hantera det i steg. Titta på uttrycket:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2)</sup>

Skriv först uttrycket som en lång uppdelning, med delaren till vänster och utdelningen till höger:

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Dela den första termen i utdelningen med den första terminen i divisorn och placera resultatet på raden ovanför division. I detta fall x
^{2 ÷ x
\u003d x
, så:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Multiplicera detta resultat med hela divisorn, så i detta fall, ( x
+ 2) × x
\u003d x
^{2 + 2 < em> x
. Lägg detta resultat under uppdelningen:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

Subtrahera resultatet på den nya raden från termerna direkt ovanför (notera att du tekniskt ändrar skylten, så om du hade ett negativt resultat skulle du lägga till det istället) och lägga detta på en rad under det. Flytta också den sista termen från den ursprungliga utdelningen.

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Upprepa nu processen med divisorn och det nya polynomet på bottenlinjen. Så dela den första termen i divisorn ( x
) med den första termen i utdelningen (−5 x
) och lägg detta ovan:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Multiplicera detta resultat (−5 x
÷ x
\u003d −5) med den ursprungliga divisorn (så (< em> x
+ 2) × −5 \u003d −5 x
−10) och lägg resultatet på en ny nedre rad:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

Sedan subtraheras nedre raden från nästa upp (så i detta fall ändra skylt och lägg till) , och lägg resultatet på en ny nedersta rad:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

0 0

Eftersom det nu finns en rad nollor längst ner är processen avslutad. Om det inte fanns några termer utan noll, skulle du upprepa processen igen. Resultatet är på översta raden, så:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2) \u003d x
- 5</sup>

Denna uppdelning och några andra kan lösas enklare om du kan faktorisera polynomet i utdelningen.