Precis som i algebra, när du börjar lära dig trigonometri, kommer du att samla uppsättningar med formler som är användbara för problemlösning. En sådan uppsättning är halvvinkelidentiteterna, som du kan använda för två syften. Den ena är att konvertera trigonometriska funktioner för (θ /2) till funktioner i termer av de mer bekanta (och lättare manipulerade) θ. Det andra är att hitta det verkliga värdet för trigonometriska funktioner för θ, när θ kan uttryckas som hälften av en mer bekant vinkel. -vänliga identiteter. Men genom att tillämpa en blandning av algebra och trigonometri kan dessa ekvationer masseras till ett antal användbara former. Du behöver inte nödvändigtvis memorera alla dessa (såvida inte din lärare insisterar), men du bör åtminstone förstå hur du använder dem:
Half-Angle Identity for Sine
< li> sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]
Halvvinkelidentitet för Cosine
Halvvinkelidentiteter för tangent
Halvvinkelidentiteter för Cotangent
Så hur använder du halvvinkelidentiteter? Det första steget är att inse att du har att göra med en vinkel som är hälften av en mer bekant vinkel.
föreställ dig att du blir ombedd att hitta vinkelens sinus 15 grader. Detta är inte en av de vinklar de flesta elever kommer att memorera värdena för triggfunktioner för. Men om du låter 15 grader vara lika med θ /2 och sedan lösa för θ, kommer du att upptäcka att:
θ /2 \u003d 15
θ \u003d 30
Eftersom den resulterande θ, 30 grader, är en mer bekant vinkel, kommer det att vara till hjälp att använda halvvinkelformeln här.
Eftersom du har har blivit ombedd att hitta sinus, det finns egentligen bara en halvvinkelformel att välja mellan:
sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]
Att ersätta i θ /2 \u003d 15 grader och θ \u003d 30 grader ger dig:
sin (15) \u003d ± √ [(1 - cos (30)) /2]
Om du skulle har blivit ombedd att hitta tangenten eller cotangenten, som båda hälften multiplicerar sätt att uttrycka sin halvvinkelidentitet, skulle du helt enkelt välja den version som såg lättast ut att arbeta. br>
Tecknet ± i början av en halvvinkelidentitet innebär att roten i fråga kan vara positiv eller negativ. Du kan lösa denna tvetydighet genom att använda din kunskap om trigonometriska funktioner i kvadranter. Här är en snabb sammanfattning av vilka triggfunktioner som returnerar positiva Eftersom i detta fall din vinkel θ representerar 30 grader, som faller i kvadrant I, du vet att sinusvärdet det returnerar kommer att vara positivt. Så du kan släppa ± -tecknet och helt enkelt utvärdera: sin (15) \u003d √ [(1 - cos (30)) /2] Ersätt i det välkända, kända värdet på cos (30). I det här fallet använder du de exakta värdena (i motsats till decimaltillstånd från ett diagram): sin (15) \u003d √ [(1 - √3 /2) /2] Nästa, förenkla höger sida av din ekvation för att hitta ett värde för synd (15). Börja med att multiplicera uttrycket under radikalen med 2/2, vilket ger dig: sin (15) \u003d √ [2 (1 - √3 /2) /4] Detta förenklar till: sin (15) \u003d √ [(2 - √3) /4] Du kan sedan fakturera kvadratroten av 4: sin (15) ) \u003d (1/2) √ (2 - √3) I de flesta fall handlar det om så långt du skulle förenkla. Resultatet kanske inte är väldigt vackert, men du har översatt sinus till en okänd vinkel till en exakt mängd.
värden i vilka kvadranter:
