En Taylor-serie är en numerisk metod för att representera en given funktion. Denna metod har applikation inom många tekniska områden. I vissa fall, såsom värmeöverföring, resulterar differentialanalys i en ekvation som passar i form av en Taylor-serie. En Taylor-serie kan också representera en integral om integralen av den funktionen inte existerar analytiskt. Dessa representationer är inte exakta värden, men beräkning av fler villkor i serien gör approximationen mer exakt.
Välj ett centrum för Taylor-serien. Detta nummer är godtyckligt, men det är en bra idé att välja ett centrum där symmetri finns i funktionen eller där värdet för mitten förenklar matematiken i problemet. Om du beräknar Taylors serierepresentation av f (x) = sin (x), är ett bra centrum att använda a = 0.
Bestäm antalet villkor som du vill beräkna. Ju fler villkor du använder desto mer exakt kommer din representation att vara, men eftersom en Taylor-serie är en oändlig serie, är det omöjligt att inkludera alla möjliga villkor. Synd (x) -exemplet kommer att använda sex termer.
Beräkna de derivat du behöver för serien. För detta exempel måste du beräkna alla derivat upp till det sjätte derivatet. Eftersom Taylorserien börjar med "n = 0," måste du inkludera "0th" derivatet, vilket bara är den ursprungliga funktionen. 0de derivat = sin (x) 1 = cos (x) 2 = -in (x) 3 = -cos (x) 4 = sin (x) 5: e = cos (x) 6: e = p> Beräkna värdet för varje derivat i det center du valde. Dessa värden kommer att vara täljare för de första sex termerna i Taylor-serien. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -kos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Använd derivatberäkningarna och centret för att bestämma Taylor-seriens termer. 1: a termen; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2: a termen; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x /1! 3: e termen; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4: e termen; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! Femte terminen; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! Sjätte terminen; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor-serien för synd (x): sin (x) = 0 + x /1! + 0 - (x ^ 3) /3! + 0 + (x ^ 5) /5! + ...
Släpp nollvillkoren i serien och förenkla uttrycket algebraiskt för att bestämma den förenklade representationen av funktionen. Det här kommer att bli en helt annan serie, så värdena för "n" som används tidigare gäller inte längre. synd (x) = 0 + x /1! + 0 - (x ^ 3) /3! + 0 + (x ^ 5) /5! + ... synd (x) = x /1! - (x ^ 3) /3! + (X ^ 5) /5! - ... Eftersom tecknen växlar mellan positiva och negativa måste den första komponenten i den förenklade ekvationen vara (-1) ^ n, eftersom det inte finns några jämntal i serien. Termen (-1) ^ n resulterar i ett negativt tecken när n är udda och ett positivt tecken när n är jämn. Serierepresentationen av udda tal är (2n + 1). När n = 0 är denna term lika med 1; när n = 1 är denna term lika med 3 och så vidare till oändligheten. I det här exemplet använder du denna representation för exponenterna x och faktorialerna i nämnaren
Använd funktionens representation istället för den ursprungliga funktionen. För mer avancerade och svårare ekvationer kan en Taylor-serie göra en osolvbar ekvation lösbar eller åtminstone ge en rimlig numerisk lösning.
