igor kisselev/Shutterstock
När du behöver en vektor som är vinkelrät mot en given, ger punktprodukt- och tvärprodukttekniken tydliga, tillförlitliga metoder. En nollpunktsprodukt signalerar ortogonalitet, medan korsprodukten av två icke-parallella vektorer ger en vektor som är vinkelrät mot båda.
Antag en okänd vektor V =(v1 , v2 ). Denna vektor kommer att vara vinkelrät mot den kända vektorn U =(u1 , u2 ).
Beräkna punktprodukten:V · U =u1 v1 + u2 v2 . Till exempel om U =(–3, 10), sedan V · U =–3v1 + 10v2 .
Ställ in punktprodukten på noll och lös för en komponent:–3v1 + 10v2 =0 ⇒ v2 =(3/10)v1 .
Välj valfritt värde för v1; låt till exempel v1 =1.
Beräkna v2 =0,3. Alltså V =(1, 0,3) är vinkelrät mot U =(–3, 10). Välj v1 =–1 ger V ′ =(–1, –0,3), motsatt riktning. Varje skalär multipel av endera vektorn förblir vinkelrät, och normalisering till enhetslängd ger W =V / √(1² + 0,3²) =(1/√10, 0,3/√10).
Definiera en okänd vektor V =(v1 , v2 , v3 ).
Beräkna punktprodukten med en känd vektor U =(10, 4, –1):V · U =10v1 + 4v2 – v3 .
Ställ in punktprodukten på noll, vilket ger planekvationen 10v1 + 4v2 – v3 =0. Varje vektor som uppfyller denna relation är vinkelrät mot U .
Välj lämpliga värden, t.ex. v1 =1 och v2 =1, lös sedan för v3 =10 + 4 =14. Detta ger V =(1, 1, 14).
Verifiera ortogonalitet:V · U =10(1) + 4(1) – 14 =0. Alltså V är verkligen vinkelrät mot U .
Välj vilken vektor som helst som inte är parallell med U . Ett lämpligt val är en basvektor, som X =(1, 0, 0).
Beräkna korsprodukten:W =X × U =(0, 1, 4) när U =(10, 4, –1).
Bekräfta vinkelräthet:W · U =0·10 + 1·4 + 4·(–1) =0. Användning av olika icke-parallella vektorer som (0, 1, 0) eller (0, 0, 1) kommer att producera andra vinkelräta vektorer som alla ligger i det plan som definieras av 10v1 + 4v2 – v3 =0.
