Wavebreakmedia/iStock/GettyImages
En radian är den grundläggande enheten för att mäta vinklar i matematik och fysik. Den definieras av en cirkels geometri:om du tar en båge vars längd är lika med cirkelns radie, är vinkeln som övertäcks i mitten av den bågen en radian. Denna definition binder enheten direkt till cirkelns form, vilket gör den mer "naturlig" för många matematiska formler.
En radian är en vinkelenhet baserad på cirkelns radie, vilket förenklar många avancerade ekvationer inom matematik och fysik.
Grader är det vardagliga sättet att uttrycka vinklar – 360° i en hel cirkel, 180° i en triangel, 90° för en rät vinkel. Radianer kommer dock från cirkelns egen geometri:en hel cirkel är 2π radianer, en triangel är π radianer och en rät vinkel är π/2 radianer. Även om π är irrationell, effektiviserar radianer beräkningar som annars skulle involvera π‑multiplikatorer.
För grundläggande aritmetik och trigonometri är grader praktiska eftersom du sällan behöver bråkdelar av π. I kalkyl blir radianer väsentliga. Effektserien för sinus, till exempel, är mycket renare i radianer:
\(\sin(x) =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\)
I grader skulle samma serie kräva att upprepade gånger infoga \(\frac{\pi x}{180}\), vilket ökar både längden och risken för fel. Eftersom radianer härrör direkt från cirkelgeometrin passar de naturligt in på beteendet hos trigonometriska funktioner i kalkyl.
I kalkyl är derivatan av \(\sin(x)\) helt enkelt \(\cos(x)\) när x är i radianer. I grader skulle derivatan inkludera en extra faktor av \(\frac{\pi}{180}\). Inom fysiken skrivs vinkelhastighet ofta som \(\omega\) och mäts i radianer per sekund; till exempel, en hel rotation per sekund är lika med \(2\pi\) rad/s. Radianer minskar alltså röran i både formler och notation.
För att omvandla en vinkel från grader till radianer, multiplicera med \(\pi\) och dividera med 180. Till exempel, 360° × \(\pi\) ÷ 180 =2\pi rad. Omvänt, för att konvertera från radianer till grader, multiplicera med 180 och dividera med \(\pi\). Så \(\frac{\pi}{2}\) rad × 180 ÷ \(\pi\) =90°.
