Ridofranz/iStock/GettyImages

Algebra kräver ofta förenkling av uttryck och komplexa tal – de som innehåller den imaginära enheten i (definierat av i ² =–1)—kan verka skrämmande vid första anblicken. Men när du väl behärskar de grundläggande reglerna är hanteringen av komplexa tal enkel och pålitlig.

TL;DR (för lång; läste inte)

Följ grundläggande algebraiska regler – addition, subtraktion, multiplikation och division – när du arbetar med komplexa tal för att förenkla alla uttryck.

Vad är ett komplext tal?

Komplexa tal utökar det reella talsystemet genom att införliva den imaginära enheten i , kvadratroten av –1. Alla komplexa tal kan skrivas i standardformen:

\(z =a + bi\)

Här, en är den verkliga delen och b är den imaginära delen, som var och en kan vara positiv eller negativ. Till exempel z =2 – 4i visar strukturen. I själva verket är vanliga reella tal helt enkelt komplexa tal med b =0, så det komplexa talsystemet är en naturlig förlängning av alla tal.

Grundläggande regler för algebra med komplexa tal

Addition och subtraktion

När du adderar eller subtraherar komplexa tal, kombinera de reella delarna och de imaginära delarna separat. Till exempel med z =2 – 4i och w =3 + 5i :

\(\begin{aligned} z + w &=(2 – 4i) + (3 + 5i)\\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i\\ &=5 + i\end{aligned}\)

Att subtrahera följer samma princip:

\(\begin{aligned} z - w &=(2 – 4i) – (3 + 5i)\\ &=(2 – 3) + (-4 – 5)i\\ &=-1 - 9i\end{aligned}\)

Multiplikation

Multiplikation är analogt med vanlig algebra, men du måste komma ihåg att i ² =–1. För två enkla imaginära tal, 3i × –4i :

\(3i \times -4i =-12i^2 =-12(-1) =12\)

Med fullständiga komplexa tal, använd FOIL-metoden:

\(\begin{aligned} z \times w &=(2 - 4i)(3 + 5i)\\ &=(2 \times 3) + (-4i \times 3) + (2 \times 5i) + (-4i \times 5i)\\ &=6 - 12i + 10i - 20i &\=6i - 20i &\=2 - 20i 26 + 2i\end{aligned}\)

Division

För att dividera komplexa tal, multiplicera täljare och nämnare med nämnarens konjugat. Konjugatet av ett komplext tal z =a + bi är z* =a – bi. Till exempel:

\(\frac{z}{w} =\frac{2 - 4i}{3 + 5i}\)

Multiplicera med konjugatet av nämnaren (3 – 5i). ):

\(\frac{z}{w} =\frac{(2 - 4i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)}\)

Beräkna täljare och nämnare separat:

\(\begin{aligned} (2 - 4i)(3 - 5i) &=6 - 12i - 10i + 20i^2 \newline &=-14 - 22i \newline (3 + 5i)(3 - 5i) &=9 + 15i - 15i - 25i=^2}\end"

Alltså:

\(\frac{z}{w} =\frac{-14 - 22i}{34} =-\frac{7}{17} - \frac{11}{17}i\)

Förenkla komplexa uttryck

Tillämpa reglerna ovan för att minska komplexa uttryck. Tänk på exemplet:

\(z =\frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2 + i)}\)

Förenkla först täljaren:

\((4 + 2i) + (2 - i) =6 + i\)

Sedan nämnaren:

\(\begin{aligned} (2 + 2i)(2 + i) &=4 + 4i + 2i + 2i^2 \newline &=(4 - 2) + 6i \newline &=2 + 6i\end{aligned}\)

Bråket blir:

\(z =\frac{6 + i}{2 + 6i}\)

Multiplicera täljare och nämnare med konjugatet av nämnaren (2 – 6i ):

\(\begin{aligned} z &=\frac{(6 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} \newline &=\frac{12 + 2i - 36i - 6i^2}{4 + 12i - 12i - 36i^2} \från{1 -4 -0} \frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\end{aligned}\)

Så den förenklade formen är:

\(z =\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\)