I linjär algebra, determinanten av en fyrkantig matris är ett skalvärde som ger information om matrisens egenskaper och beteende. Det betecknas av det (a) eller | a | , där A är matrisen.
Egenskaper för determinanter:
* skalmultiplikation: Determinanten för en skalmultipel av en matris är lika med den skalar som höjs till kraften i matrisens ordning multiplicerad med bestämningen av den ursprungliga matrisen:det (ka) =k^n det (a), där n är ordningen på matrisen.
* transponera: Determinanten för en matris är lika med determinanten för dess transponering:det (a) =det (a^t).
* rad/kolumnoperationer: Elementär rad- eller kolonnoperationer på en matris påverkar determinanten enligt följande:
* Att byta två rader/kolumner ändrar tecknet på determinanten.
* Multiplicera en rad/kolumn med en skalär multiplicerar determinanten med den skalaren.
* Att lägga till en multipel av en rad/kolumn i en annan rad/kolumn ändrar inte determinanten.
* invertibla matriser: En fyrkantig matris är inverterbar om och bara om dess determinant är icke-noll.
* linjärt beroende: Om raderna eller kolumnerna i en matris är linjärt beroende, är dess determinant noll.
Beräkning av determinanter:
* för 2x2 matriser:
Det ([[A, B], [C, D]]) =AD - BC
* för 3x3 matriser:
det ([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]) =a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - t.ex.)
* för större matriser:
Determinanter för större matriser kan beräknas med hjälp av olika metoder, såsom kofaktorutvidgning, Gaussisk eliminering eller med användning av specialiserade algoritmer.
Applikationer av determinanter:
* Lösande linjära ekvationer: Determinanter används i Cramers regel för att lösa system med linjära ekvationer.
* Hitta egenvärden: Determinanter används för att hitta egenvärdena för en matris.
* Beräkning av områden och volymer: Determinanter kan användas för att beräkna området för ett parallellogram och volymen för en parallellepiped.
* geometriska transformationer: Determinanter används i geometri för att representera skalningsfaktorn för linjära transformationer.
Exempel:
Tänk på matrisen A =[[2, 1], [3, 4]].
Determinanten för A är:
det (a) =(2 * 4) - (1 * 3) =8 - 3 =5.
Eftersom determinanten är icke-noll är matrisen A overterbar.
