Det kusliga, eteriska ljudet från den sjungande sågen har varit en del av folkmusiktraditioner runt om i världen, från Kina till Appalachien, sedan spridningen av billigt, flexibelt stål i början av 1800-talet. Tillverkat av att böja en handsåg av metall och böja den som en cello, nådde instrumentet sin storhetstid på vaudeville-scenerna i början av 1900-talet och har sett en återuppvaknande, delvis tack vare sociala medier.

Som det visar sig kan den sjungande sågens unika matematiska fysik vara nyckeln till att designa högkvalitativa resonatorer för en rad applikationer.

I en ny artikel använde ett team av forskare från Harvard John A. Paulson School of Engineering and Applied Sciences (SEAS) och Institutionen för fysik den sångsåg för att demonstrera hur geometrin hos en krökt plåt, som krökt metall, kan vara inställd för att skapa högkvalitativa, långvariga svängningar för applikationer inom avkänning, nanoelektronik, fotonik och mer.

"Vår forskning erbjuder en robust princip för att designa högkvalitativa resonatorer oberoende av skala och material, från makroskopiska musikinstrument till nanoskala enheter, helt enkelt genom en kombination av geometri och topologi", säger L Mahadevan, professor i tillämpad matematik vid Lola England de Valpine. , Organismisk och Evolutionär Biologi och Fysik och senior författare till studien.

Forskningen publiceras i Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS ).

Även om alla musikinstrument är akustiska resonatorer av ett slag, fungerar ingen som den sjungande sågen.

"Hur den sjungande sågen sjunger är baserat på en överraskande effekt", säger Petur Bryde, doktorand vid SEAS och medförfattare till tidningen. "När du slår mot en platt elastisk plåt, till exempel en metallplåt, vibrerar hela strukturen. Energin går snabbt förlorad genom gränsen där den hålls, vilket resulterar i ett dovt ljud som försvinner snabbt. Samma resultat observeras om du böj den till en J-form. Men om du böjer arket till en S-form kan du få den att vibrera på ett mycket litet område, vilket ger en tydlig, långvarig ton."

Geometrin hos den böjda sågen skapar vad musiker kallar sweet spot och vad fysiker kallar lokala vibrationslägen – ett begränsat område på plåten som ger resonans utan att förlora energi vid kanterna.

Viktigt är att den specifika geometrin hos S-kurvan inte spelar någon roll. Det kan vara ett S med en stor kurva upptill och en liten kurva längst ner eller tvärtom.

"Musiker och forskare har känt till denna robusta effekt av geometri under en tid, men de underliggande mekanismerna har förblivit ett mysterium", säger Suraj Shankar, en Harvard Junior Fellow i Fysik och SEAS och medförfattare till studien. "Vi hittade ett matematiskt argument som förklarar hur och varför denna robusta effekt finns med vilken form som helst inom denna klass, så att detaljerna i formen är oviktiga, och det enda faktum som spelar roll är att det finns en omkastning av krökningen längs sågen. "

Shankar, Bryde och Mahadevan fann den förklaringen via en analogi till mycket olika klasser av fysiska system - topologiska isolatorer. Oftast förknippade med kvantfysik, topologiska isolatorer är material som leder elektricitet i sin yta eller kant men inte i mitten och oavsett hur du skär dessa material kommer de alltid att leda på sina kanter.

"I det här arbetet drog vi en matematisk analogi mellan akustiken hos böjda ark och dessa kvantsystem och elektroniska system," sa Shankar.

Genom att använda matematiken i topologiska system fann forskarna att de lokaliserade vibrationslägena i sjungande sågs sweet spot styrdes av en topologisk parameter som kan beräknas och som inte förlitar sig på något annat än existensen av två motsatta kurvor i materialet. Sweet spot beter sig då som en inre "kant" i sågen.

"Genom att använda experiment, teoretisk och numerisk analys visade vi att S-krökningen i ett tunt skal kan lokalisera topologiskt skyddade lägen vid "sweet spot" eller böjningslinjen, liknande exotiska kanttillstånd i topologiska isolatorer, säger Bryde. "Detta fenomen är materialoberoende, vilket betyder att det kommer att dyka upp i stål, glas eller till och med grafen."

Forskarna fann också att de kunde ställa in lägets lokalisering genom att ändra formen på S-kurvan, vilket är viktigt i applikationer som avkänning, där du behöver en resonator som är inställd på mycket specifika frekvenser.

Därefter siktar forskarna på att utforska lokaliserade lägen i dubbelt krökta strukturer, såsom klockor och andra former. + Utforska vidare

Matematisk ram förvandlar alla materialark till vilken form som helst med hjälp av kirigami-snitt