Matematiken för föremål som annars ser enkla ut kan vara förvånansvärt förbryllande. Det finns förmodligen inget bättre exempel på detta än Möbiusremsan.
Det är ett ensidigt föremål som kan göras genom att helt enkelt vrida en bit papper och koppla ihop ändarna med lite tejp. Om du skulle följa slingan runt med fingret, skulle du så småningom hamna precis där du började, efter att ha vidrört hela slingans yta längs resan. Denna enkla skapelse, Möbiusremsan, är grundläggande för hela topologiområdet och fungerar som ett typiskt exempel på olika matematiska principer.
En av dessa principer är icke-orienterbarhet , vilket är oförmågan för matematiker att tilldela koordinater till ett objekt, säg upp eller ner, eller sida till sida. Denna princip har några intressanta resultat, eftersom forskare inte är helt säkra på om universum är orienterbart.
Detta utgör ett förbryllande scenario:Om en raket med astronauter flög ut i rymden tillräckligt länge och sedan återvände, förutsatt att universum inte var orienterbart, är det möjligt att alla astronauter ombord skulle komma tillbaka i omvänd riktning.
Med andra ord, astronauterna skulle komma tillbaka som spegelbilder av sina forna jag, helt omvända. Deras hjärtan skulle vara till höger snarare än vänster och de kan vara vänsterhänta snarare än högerhänta. Om en av astronauterna hade tappat sitt högra ben före flygning, vid återkomst, skulle astronauten sakna sitt vänstra ben. Detta är vad som händer när du korsar en icke-orienterbar yta som en Möbiusremsa.
Även om du förhoppningsvis är blåst – åtminstone bara något – måste vi ta ett steg tillbaka. Vad är en Möbius-remsa och hur kan ett objekt med så komplex matematik göras genom att helt enkelt vrida en bit papper?
Innehåll
Möbiusremsan (ibland skriven som "Mobiusremsan") upptäcktes första gången 1858 av en tysk matematiker vid namn August Möbius medan han forskade om geometriska teorier. Även om Möbius till stor del krediteras med upptäckten (därav namnet på remsan), upptäcktes den nästan samtidigt av en matematiker vid namn Johann Listing. Han avvaktade dock med att publicera sitt verk och fick stryk av August Möbius.
Själva remsan definieras helt enkelt som en ensidig icke-orienterbar yta som skapas genom att lägga en halvvridning till ett band. Möbius-remsor kan vara vilket band som helst som har ett udda antal halvvridningar, vilket i slutändan gör att remsan bara har en sida, och följaktligen en kant.
Ända sedan upptäckten har den ensidiga remsan tjänat som en fascination för konstnärer och matematiker. Remsan förälskade till och med M.C. Escher, vilket leder till hans berömda verk, "Möbius Strip I&II".
Upptäckten av Möbiusremsan var också grundläggande för bildandet av fältet matematisk topologi, studiet av geometriska egenskaper som förblir oförändrade när ett föremål deformeras eller sträcks. Topologi är avgörande för vissa områden inom matematik och fysik, som differentialekvationer och strängteori.
Till exempel, enligt topografiska principer, är en mugg faktiskt en munk. Matematikern och konstnären Henry Segerman förklarar det bäst i en YouTube-video:"Om du tar en kaffemugg kan du liksom ta bort indrag på platsen där kaffet går och du kan pressa ut handtaget lite och så småningom kan du deformera det till [en] symmetrisk rund munkform." (Detta förklarar skämtet om att en topolog är någon som inte kan se skillnaden mellan en munk och en kaffemugg.)
Möbiusremsan är mer än bara fantastisk matematisk teori:den har några coola praktiska tillämpningar, oavsett om det är som ett läromedel för mer komplexa föremål eller i maskiner.
Till exempel, eftersom Möbius-remsan är fysiskt ensidig, säkerställer användning av Möbius-remsor i transportband och andra applikationer att själva bandet inte slits ojämnt under hela sin livslängd. Docent NJ Wildberger vid School of Mathematics vid University of New South Wales, Australien, förklarade under en föreläsningsserie att en vridning ofta läggs till på drivremmar i maskiner, "avsiktligt för att slita ut bältet enhetligt på båda sidor." Möbiusremsan kan också ses i arkitekturen, till exempel Wuchazi-bron i Kina.
Dr Edward English Jr., matematiklärare på mellanstadiet och före detta optisk ingenjör, säger att som när han först lärde sig om Möbiusremsan i grundskolan, lät hans lärare honom skapa en med papper, klippa Möbiusremsan längs dess längd vilket skapade en längre remsa med två hela vridningar.
"Att bli fascinerad av och exponerad för det här konceptet med två "tillstånd" hjälpte mig, tror jag, när jag stötte på upp/ned spin av elektroner, säger han och syftar på sin doktorsexamen. studier. "Olika kvantmekaniska idéer var inte så konstiga koncept för mig att acceptera och förstå eftersom Möbius-remsan introducerade mig för sådana möjligheter." För många fungerar Möbiusremsan som den första introduktionen till komplex geometri och matematik.
Att skapa en Möbiusremsa är otroligt enkelt. Ta bara ett papper och skär det i en tunn remsa, säg en tum eller 2 bred (2,5-5 centimeter). När du har klippt den remsan, vrid helt enkelt en av ändarna 180 grader, eller en halv vridning. Ta sedan lite tejp och anslut den änden till den andra änden, skapa en ring med en halv vridning inuti. Du har nu kvar en Möbius-remsa!
Du kan bäst observera principerna för denna form genom att ta fingret och följa längs sidorna av remsan. Du kommer så småningom att ta dig hela vägen runt formen och hitta ditt finger tillbaka där det började.
Om du klipper en Möbius-remsa i mitten, längs hela dess längd, har du en större ögla med fyra halva vridningar. Detta ger dig en vriden cirkulär form, men en som fortfarande har två sidor. Det var denna dualitet som Dr. English nämnde hjälpte honom att förstå mer komplexa principer.
Nu är det cooltOm du skär en bagel längs vägen till en Möbiusremsa, kommer du att stå kvar med två sammankopplade bagelringar. Inte bara det, utan ytan på snittet kommer att vara större än att bara skära bageln på mitten, så att du kan sprida mer färskost på bageln att äta.
