En UNSW-matematiker har avslöjat ursprunget till tillämpad geometri på en 3700 år gammal lertavla som har gömt sig i osynligt på ett museum i Istanbul i över ett sekel.

Tabletten – känd som Si.427 – upptäcktes i slutet av 19 ^th århundradet i det som nu är centrala Irak, men dess betydelse var okänd tills UNSW-forskarens detektivarbete avslöjades idag.

Mest spännande, Si.427 tros vara det äldsta kända exemplet på tillämpad geometri – och i studien som släpptes idag i Vetenskapens grunder , forskningen avslöjar också en övertygande mänsklig berättelse om lantmäteri.

"Si.427 härstammar från den gamla babyloniska (OB) perioden - 1900 till 1600 f.Kr. " säger huvudforskaren Dr Daniel Mansfield från UNSW Science's School of Mathematics and Statistics.

"Det är det enda kända exemplet på ett matrikeldokument från OB-perioden, som är en plan som används av lantmätare definiera markgränser. I detta fall, den berättar juridiska och geometriska detaljer om ett fält som delas efter att en del av det sålts."

Detta är ett viktigt objekt eftersom lantmätaren använder vad som nu kallas "Pythagoreiska trippel" för att göra exakta räta vinklar.

"Upptäckten och analysen av tabletten har viktiga konsekvenser för matematikens historia, " säger Dr. Mansfield. "Till exempel, det är över tusen år innan Pythagoras föddes."

Hot i hälarna på ännu ett fynd som är världens första

Under 2017, Dr. Mansfield anade att en annan fascinerande artefakt från samma period, känd som Plimpton 322, var en unik sorts trigonometrisk tabell.

"Det är allmänt accepterat att trigonometri - den gren av matematik som handlar om studiet av trianglar - utvecklades av de gamla grekerna som studerade natthimlen under det andra århundradet f.Kr. " säger Dr. Mansfield.

"Men babylonierna utvecklade sin egen alternativa 'proto-trigonometri' för att lösa problem relaterade till att mäta marken, inte himlen."

Tabletten som avslöjas idag tros ha funnits redan före Plimpton 322 - faktiskt, undersökningsproblem inspirerade troligen Plimpton 322.

"Det finns en hel djurpark av räta trianglar med olika former. Men bara en mycket liten handfull kan användas av babyloniska lantmätare. Plimpton 322 är en systematisk studie av denna djurpark för att upptäcka de användbara formerna, " säger Dr. Mansfield.

Tablettändamål avslöjat:lantmäterimark

Tillbaka 2017, teamet spekulerade om syftet med Plimpton 322, hypotesen att det sannolikt hade ett praktiskt syfte, möjligen används för att bygga palats och tempel, bygga kanaler eller undersökningsfält.

"Med den här nya surfplattan, vi kan faktiskt se för första gången Varför de var intresserade av geometri:att fastställa exakta landgränser, " säger Dr. Mansfield.

"Detta är från en period då mark börjar bli privat – folk började tänka på mark i termer av "mitt land och din mark", vill sätta en ordentlig gräns för att ha positiva grannrelationer. Och detta är vad den här surfplattan omedelbart säger. Det är ett fält som delas, och nya gränser sätts."

Det finns till och med ledtrådar gömda på andra surfplattor från den tidsperioden om berättelserna bakom dessa gränser.

"En annan tablett hänvisar till en tvist mellan Sin-bel-apli - en framstående person som nämns på många tabletter inklusive Si.427 - och en rik kvinnlig markägare, " säger Dr. Mansfield.

"Tvisten handlar om värdefulla dadelpalmer på gränsen mellan deras två fastigheter. Den lokala administratören går med på att skicka ut en besiktningsman för att lösa tvisten. Det är lätt att se hur noggrannhet var viktig för att lösa tvister mellan så mäktiga individer."

Dr. Mansfield säger att hur dessa gränser görs avslöjar verklig geometrisk förståelse.

"Ingen förväntade sig att babylonierna använde pythagoras trippel på detta sätt, " säger Dr. Mansfield. "Det är mer besläktat med ren matematik, inspirerad av tidens praktiska problem."

Skapa räta vinklar – lättare sagt än gjort

Ett enkelt sätt att göra en korrekt rät vinkel är att göra en rektangel med sidorna 3 och 4, och diagonal 5. Dessa speciella siffror bildar 3-4-5 "Pythagorean trippel" och en rektangel med dessa mått har matematiskt perfekta räta vinklar. Detta är viktigt för forntida lantmätare och används fortfarande idag.

"De forntida lantmätarna som tillverkade Si.427 gjorde något ännu bättre:de använde en mängd olika pythagoras trippel, både som rektanglar och räta trianglar, att konstruera exakta räta vinklar, " säger Dr. Mansfield.

Dock, det är svårt att arbeta med primtal större än 5 i det babyloniska bastalsystemet 60.

"Detta väcker en mycket speciell fråga - deras unika bas 60-talsystem innebär att endast vissa pythagorasformer kan användas, " säger Dr. Mansfield.

"Det verkar som att författaren till Plimpton 322 gick igenom alla dessa pytagoreiska former för att hitta dessa användbara.

"Denna djupa och mycket numeriska förståelse av den praktiska användningen av rektanglar ger namnet 'proto-trigonometri' men den är helt annorlunda än vår moderna trigonometri som involverar synd, för, och solbränna."

Jagar Si.427

Dr. Mansfield lärde sig först om Si.427 när han läste om det i utgrävningsprotokoll – tavlan grävdes upp under Sippar-expeditionen 1894, i vad som är Bagdad-provinsen i Irak idag.

"Det var en verklig utmaning att spåra tabletten från dessa register och fysiskt hitta den - rapporten sa att tabletten hade gått till Imperial Museum of Constantinople, en plats som uppenbarligen inte finns längre.

"Med hjälp av den informationen, Jag gick på en jakt för att spåra det, talar med många människor på turkiska regeringsministerier och museer, tills en dag i mitten av 2018 landade ett foto av Si.427 äntligen i min inkorg.

"Det var då jag fick reda på att det faktiskt var utställt på museet. Även efter att ha lokaliserat föremålet tog det fortfarande månader att helt förstå hur betydelsefullt det är, och så det är verkligen tillfredsställande att äntligen kunna dela den historien."

Nästa, Dr. Mansfield hoppas hitta vilka andra tillämpningar babylonierna hade för sin proto-trigonometri.

Det finns bara ett mysterium kvar som Dr. Mansfield inte har låst upp:på baksidan av surfplattan, allra längst ner, den listar det sexagesimala numret '25:29' med stort teckensnitt – tänk på det som 25 minuter och 29 sekunder.

"Jag kan inte lista ut vad dessa siffror betyder - det är en absolut gåta. Jag är angelägen om att diskutera eventuella ledtrådar med historiker eller matematiker som kan ha en aning om vad dessa siffror försöker berätta för oss!"