I årtusenden, mänskligheten har observerat månens föränderliga faser. Solljusets uppgång och fall reflekterades från månen, när den presenterar sina olika ansikten för oss, är känd som en "faskurva". Att mäta faskurvor för månen och solsystemets planeter är en gammal gren av astronomi som går tillbaka minst ett sekel. Formerna på dessa faskurvor kodar för information om dessa himlakroppars ytor och atmosfärer. I modern tid, astronomer har mätt faskurvorna för exoplaneter med hjälp av rymdteleskop som Hubble, Spitzer, TESS och CHEOPS. Dessa observationer jämförs med teoretiska förutsägelser. För att göra det, man behöver ett sätt att beräkna dessa faskurvor. Det handlar om att söka en lösning på ett svårt matematiskt problem som rör strålningens fysik.

Metoder för beräkning av faskurvor har funnits sedan 1700-talet. Den äldsta av dessa lösningar går tillbaka till den schweiziska matematikern, fysiker och astronom, Johann Heinrich Lambert, som levde på 1700-talet. "Lamberts reflektionslag" tillskrivs honom. Problemet med att beräkna reflekterat ljus från solsystemets planeter ställdes av den amerikanske astronomen Henry Norris Russell i en inflytelserik tidning från 1916. En annan välkänd lösning från 1981 tillskrivs den amerikanske månforskaren Bruce Hapke, som byggde på den indisk-amerikanske nobelpristagaren Subrahmanyan Chandrasekhars klassiska arbete 1960. Hapke var pionjär i studiet av månen med hjälp av matematiska lösningar av faskurvor. Den sovjetiske fysikern Viktor Sobolev gjorde också viktiga bidrag till studiet av reflekterat ljus från himlakroppar i sin inflytelserika lärobok från 1975. Inspirerad av dessa forskares arbete, teoretiska astrofysikern Kevin Heng från Center for Space and Habitability CSH vid universitetet i Bern har upptäckt en hel familj av nya matematiska lösningar för att beräkna faskurvor. Pappret, författad av Kevin Heng i samarbete med Brett Morris från National Centre of Competence in Research NCCR PlanetS—som University of Bern förvaltar tillsammans med University of Geneva—och Daniel Kitzmann från CSH, har precis publicerats i Natur astronomi .

Allmänt tillämpliga lösningar

"Jag hade turen att detta rika arbete redan hade utförts av dessa stora vetenskapsmän. Hapke hade upptäckt ett enklare sätt att skriva ner den klassiska lösningen av Chandrasekhar, som berömt löste strålningsöverföringsekvationen för isotropisk spridning. Sobolev hade insett att man kan studera problemet i minst två matematiska koordinatsystem." Sara Seager uppmärksammade Hengs problemet genom sin sammanfattning av det i sin lärobok från 2010.

Genom att kombinera dessa insikter, Heng kunde skriva ner matematiska lösningar för reflektionsstyrkan (albedon) och faskurvans form, både helt på papper och utan att ta till en dator. "Den banbrytande aspekten av dessa lösningar är att de är giltiga för alla reflektionslagar, vilket innebär att de kan användas på mycket allmänna sätt. Det avgörande ögonblicket kom för mig när jag jämförde dessa penna-och-papper-beräkningar med vad andra forskare hade gjort med hjälp av datorberäkningar. Jag blev imponerad av hur bra de matchade, sa Heng.

Framgångsrik analys av faskurvan för Jupiter

"Det som retar mig är inte bara upptäckten av ny teori, men också dess stora konsekvenser för tolkning av data", säger Heng. Till exempel, rymdfarkosten Cassini mätte faskurvor för Jupiter i början av 2000-talet, men en djupgående analys av uppgifterna hade inte tidigare gjorts, förmodligen för att beräkningarna var för beräkningsmässigt dyra. Med denna nya familj av lösningar, Heng kunde analysera Cassini-faskurvorna och dra slutsatsen att Jupiters atmosfär är fylld med moln som består av stora, oregelbundna partiklar av olika storlekar. Denna parallella studie har just publicerats av Astrophysical Journal Letters, i samarbete med Cassini dataexpert och planetforskare Liming Li vid Houston University i Texas, U.S.A.

Nya möjligheter för analys av data från rymdteleskop

"Förmågan att skriva ner matematiska lösningar för faskurvor av reflekterat ljus på papper gör att man kan använda dem för att analysera data på några sekunder, " sa Heng. Det öppnar upp för nya sätt att tolka data som tidigare var omöjliga. Heng samarbetar med Pierre Auclair-Desrotour (tidigare CSH, för närvarande vid Paris Observatory) för att ytterligare generalisera dessa matematiska lösningar. "Pierre Auclair-Desrotour är en mer begåvad tillämpad matematiker än jag, och vi lovar spännande resultat inom en snar framtid, sa Heng.

I den Natur astronomi papper, Heng och hans medförfattare demonstrerade ett nytt sätt att analysera faskurvan för exoplaneten Kepler-7b från rymdteleskopet Kepler. Brett Morris ledde dataanalysdelen av tidningen. "Brett Morris leder dataanalysen för CHEOPS-uppdraget i min forskargrupp, och hans moderna datavetenskapliga tillvägagångssätt var avgörande för att framgångsrikt kunna tillämpa de matematiska lösningarna på riktiga data, " förklarade Heng. De samarbetar för närvarande med forskare från det amerikanskledda rymdteleskopet TESS för att analysera TESS faskurvdata. Heng föreställer sig att dessa nya lösningar kommer att leda till nya sätt att analysera faskurvdata från den kommande, James Webb rymdteleskop för 10 miljarder dollar, som kommer att lanseras senare under 2021. "Det som upphetsar mig mest av allt är att dessa matematiska lösningar kommer att förbli giltiga långt efter att jag är borta, och kommer förmodligen att ta sig in i vanliga läroböcker, sa Heng.