Med Super Bowl precis runt hörnet har idrottare och fans av världen fokuserat fast på det stora spelet. Men för _math_letes kan det stora spelet komma ihåg ett litet problem med de möjliga poängen i ett fotbollsspel. Med bara begränsade alternativ för hur mycket poäng du kan göra kan vissa summor helt enkelt inte nås, men vad är det högsta? Om du vill veta vad som länkar till mynt, fotboll och McDonalds kycklingnuggor, är det här ett problem för dig.
Super Bowl Math Problem

Problemet innebär de möjliga poängen antingen Los Angeles Rams eller New England Patrioter kan möjligen uppnå på söndag utan en säkerhet eller en tvåpunktsomvandling. Med andra ord, de tillåtna sätten att öka sina poäng är 3-punkts fältmål och 7-punkts touchdowns. Så, utan säkerhet kan du inte uppnå ett poäng på 2 poäng i ett spel med en kombination av 3s och 7s. På samma sätt kan du inte uppnå en poäng på 4 heller, du kan inte poängera 5.

Frågan är: Vad är den högsta poängen som inte kan uppnås med bara 3-poäng Fältmål och 7-punkts touchdowns?
Sciencing Video Vault
Skapa (nästan) perfekt fäste: Så här gör du
Skapa den (nästan) perfekta fästet: Så här

Naturligtvis, touchdowns utan en omvandling är värt 6, men eftersom du kan komma till det med två fältmål ändå spelar det ingen roll för problemet. Eftersom vi har att göra med matematik här behöver du inte oroa dig för det specifika lagets taktik eller till och med några gränser för deras förmåga att göra poäng.

Försök att lösa det själv innan du går vidare!
Hitta en lösning (det långsamma sättet)

Det här problemet har några komplexa matematiska lösningar (se Resurser för fullständiga detaljer, men huvudresultatet kommer att införas nedan), men det är ett bra exempel på hur det här inte är " t behövs för att hitta svaret.

Allt du behöver göra för att hitta en brute-force-lösning är att helt enkelt prova varje av poängen i sin tur. Så vi vet att du inte kan göra 1 eller 2, eftersom de är mindre än 3. Vi har redan fastställt att 4 och 5 inte är möjliga, men 6 är med två fältmål. Efter 7 (vilket är möjligt) kan du göra 8? Nej. Tre fältmål ger 9, och ett fältmål och en konverterad touchdown gör 10. Men du kan inte få 11.

Från och med denna tid visar lite arbete att:
\\ begin {aligned} 3 × 4 &= 12 \\\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\\\ 7 × 2 &= 14 \\\\ 3 × 5 &= 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &= 16 \\\\ × 2) + 3 &= 17 \\ end {aligned}

Och i själva verket kan du fortsätta så här så länge du vill. Svaret verkar vara 11. Men är det?
Den algebraiska lösningen

Matematiker kallar dessa problem "Frobenius myntproblem." Den ursprungliga formen relaterade till mynt, till exempel: Om du bara hade mynt värderade 4 cent och 11 cent (inte riktiga mynt, men igen, det är matematikproblem för dig), vad är den största summan av pengar du inte kunde producera.

Lösningen, med avseende på algebra, är det med en poäng värt p
poäng och ett poäng värt q
poäng, högsta poäng du inte kan få ( N
) ges av:
N = pq \\; - \\; (p + q)

Så att plugga in värdena från Super Bowl-problemet ger:
\\ begin {aligned} N &= 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &= 21 \\; - \\; 10 \\\\ &= 11 \\ end {aligned}

Vilket är svaret vi har den långsamma vägen. Så vad händer om du bara kan få poäng med ingen konvertering (6 poäng) och touchdowns med en-punktsomvandlingar (7 poäng)? Se om du kan använda formeln för att bearbeta den innan du läser den.

I så fall blir formeln:
\\ begin {aligned} N &= 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &= 42 \\; - \\; 13 \\\\ &= 29 \\ end {aligned} The Chicken McNugget Problem

Så spelet är över och du vill belöna det vinnande laget med en resa till McDonald's. Men de säljer bara McNuggets i lådor med 9 eller 20. Så vad är det högsta antalet nuggets du kan inte köpa med dessa (föråldrade) lådnummer? Försök använda formuläret för att hitta svaret innan du läser vidare.

Eftersom N = pq \\; - \\; (p + q)

Och med p
= 9 och q
= 20:
\\ begin {aligned} N &= 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &= 180 \\; - \\; 29 \\\\ &= 151 \\ end {aligned}

Så länge du köpte mer än 151 nuggets - det vinnande laget kommer troligtvis att vara ganska hungrig, trots allt - du kunde köpa några nuggets du ville ha med en boxkombination.

Du kanske undrar varför vi bara har täckt två nummerversioner av detta problem. Vad händer om vi införlivade skyddsåtgärder, eller om McDonalds sålde tre storlekar av nugget-lådor? Det finns ingen klar formel
i det här fallet, och medan de flesta versionerna av det kan lösas är vissa aspekter av frågan helt olästa.

Så kanske när du tittar på spelet eller Att äta bitar av bitar med kyckling kan du hävda att du försöker lösa ett öppet problem i matematiken - det är värt ett försök att gå ut ur sysslor!