Matematiska funktioner är kraftfulla verktyg för företag, teknik och vetenskap eftersom de kan fungera som miniatyrmodeller av verkliga fenomen. För att förstå funktioner och relationer måste du gräva lite i begrepp som uppsättningar, ordnade par och relationer. En funktion är en speciell typ av relation som bara har ett y-värde för ett givet x-värde. Det finns andra typer av relationer som ser ut som funktioner men inte uppfyller den strikta definitionen av en.

TL; DR (för lång; läste inte).

En relation är en uppsättning av antal organiserade i par. En funktion är en speciell typ av relation som bara har ett y-värde för ett givet x-värde.
Sets, Ordered Pairs and Relations | . I korthet är en uppsättning siffror en samling av dem, som vanligtvis finns i lockiga hängslen, såsom {15,1, 2/3} eller {0, .22}. Normalt definierar du en uppsättning med en regel, såsom alla jämna siffror mellan 2 och 10, inklusive: {2,4,6,8,10}.

En uppsättning kan ha valfritt antal element, eller ingen alls, det vill säga nolluppsättningen {}. Ett ordnat par är en grupp med två siffror som är inneslutna inom parentes, till exempel (0,1) och (45, -2). För enkelhets skull kan du ringa det första värdet i ett ordnat par på x-värdet, och det andra på y-värdet. En relation organiserar ordnade par i en uppsättning. Till exempel är uppsättningen {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} en relation. Du kan plotta x- och y-värdena för en relation på en graf med hjälp av x- och y-axlarna.
Relationer och funktioner

En funktion är en relation där varje givet x-värde endast har ett motsvarande y-värde . Du kanske tror att varje ordnade par bara har ett y-värde ändå. I exemplet med en relation som anges ovan bör du emellertid notera att x-värdena 1 och 2 vardera har två motsvarande y-värden, 0 respektive 5 respektive 10 och 15. Denna relation är inte en funktion. Regeln ger funktionsrelationen en definitivitet som annars inte finns, i termer av x-värden. Du kan fråga, när x är 1, vad är y-värdet? För ovanstående samband har frågan inget definitivt svar; Det kan vara 0, 5 eller båda.

Undersök nu ett exempel på en relation som är en riktig funktion: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6 )}. X-värdena upprepas inte någonstans. Som ett annat exempel, titta på {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Vissa y-värden upprepas, men detta bryter inte med regeln. Du kan fortfarande säga att när värdet på x är 0 är y definitivt 5.
Graffunktioner: Vertikal linjetest

Du kan se om en relation är en funktion genom att plotta siffrorna i en graf och tillämpa det vertikala linjetestet. Om ingen vertikal linje som passerar genom diagrammet korsar den på mer än en punkt är relationen en funktion.
Funktioner som ekvationer

Att skriva ut en uppsättning ordnade par som en funktion är ett enkelt exempel, men blir snabbt tråkig när du har fler än några få nummer. För att lösa detta problem skriver matematiker funktioner i termer av ekvationer, till exempel y \u003d x ^ 2 - 2x + 3. Med denna kompakta ekvation kan du generera så många ordnade par du vill: Anslut olika värden för x, gör matematik, och ut kommer dina y-värden. För att ta ett enkelt exempel är avståndsekvationen för ett fallande föremål d \u003d 0,5 x g x t ^ 2, där t är tid i sekunder, och g är accelerationen på grund av tyngdkraften. Anslut 9,8 för jordens tyngdkraft i meter per sekund i kvadrat, och du kan hitta avståndet som ett objekt tappade när som helst. Observera att modeller för alla deras användbarhet har begränsningar. Exempelekvationen fungerar bra för att släppa en stålkula men inte en fjäder eftersom luften bromsar fjädern ner.