Till skillnad från en liksidig triangel med sina tre lika sidor och vinklar, en likbenad en med sina två lika sidor, eller en rätt triangel med sin 90-graders vinkel, har en skalen triangel tre sidor av slumpmässiga längder och tre slumpmässiga vinklar. Om du vill veta dess område måste du göra ett par mätningar. Om du kan mäta längden på en sida och vinkelrätt avstånd från den sidan till motsatt vinkel, har du tillräckligt med information för att beräkna area. Det är också möjligt att beräkna area om du vet längderna på alla tre sidorna. Att bestämma värdet på en av vinklarna såväl som längden på de två sidorna som bildar den låter dig också beräkna area.

TL; DR (för lång; läste inte)

Ytan på en skalen triangel med bas b och höjd h ges med 1/2 bh. Om du vet längderna på alla tre sidorna kan du beräkna area med Herons Formula utan att behöva hitta höjden. Om du känner till värdet på en vinkel och längderna på de två sidorna som bildar den, kan du hitta längden på den tredje sidan med Law of Cosines och sedan använda Herons Formula för att beräkna area.
General Formula for Finding Area

Betrakta en slumpmässig triangel. Det är möjligt att skriva en rektangel runt den som använder en av sidorna som bas (det spelar ingen roll vilken) och berör bara toppens tredje vinkel. Längden på denna rektangel är lika med längden på sidan av triangeln som bildar den, som kallas basen (b). Dess bredd är lika med det vinkelräta avståndet från basen till spetsen, som kallas triangelns höjd (h).

Rektangelns område som du just drog är lika med b ⋅ h. Men om du undersöker triangelns linjer ser du att de delar paret av rektanglar som skapats av den vinkelräta linjen från basen till spetsen exakt i halva. Således är området inuti triangeln exakt hälften av det utanför den, eller 1/2 h. För varje triangel:

Area \u003d 1/2 bas ⋅ höjd - Herons formel

Matematiker har vetat hur man beräknar arean för en triangel med tre kända sidor i årtusenden. De använder Herons formel, uppkallad efter Hero of Alexandria. För att använda den här formeln måste du först hitta triangelns halva omkrets (er), vilket du gör genom att lägga till alla tre sidorna och dela resultatet med två. För en triangel med sidorna a, b och c, halva omkretsen s \u003d 1/2 (a + b + c). När du väl vet vad du beräknar, beräknar du area med denna formel:

Area \u003d square root [s (s - a) (s - b) (s - c)]
Använda Cos of Law

Tänk på en triangel med tre vinklar A, B och C. Längden på de tre sidorna är a, b och c. Sidan a är motsatt vinkel A, sidan b är motsatt vinkel B, och sidan c är motsatt vinkel C. Om du känner till en av vinklarna - till exempel vinkel C - och de två sidorna som bildar den - i detta fall, a och b - du kan beräkna längden på den tredje sidan med hjälp av denna formel:

c ^{2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos (C)}

När du väl vet värdet på c kan du beräkna area med Herons formel.