I en geometrisk sekvens är varje term lika med föregående term, gånger en konstant multiplikator utan noll, kallad den gemensamma faktorn. Geometriska sekvenser kan ha ett fast antal termer, eller de kan vara oändliga. I båda fallen kan termerna i en geometrisk sekvens snabbt bli mycket stora, mycket negativa eller mycket nära noll. Jämfört med aritmetiska sekvenser ändras termerna mycket snabbare, men medan oändliga aritmetiska sekvenser ökar eller minskar stadigt, kan geometriska sekvenser närma sig noll, beroende på den vanliga faktorn.

TL; DR (för länge; gjorde inte Läs)

En geometrisk sekvens är en ordnad lista över siffror där varje term är produkten från föregående term och en fast multiplikator utan noll som kallas den gemensamma faktorn. Varje term i en geometrisk sekvens är det geometriska medelvärdet av termer som föregår och följer det. Oändliga geometriska sekvenser med en gemensam faktor mellan +1 och -1 närmar sig gränsen för noll när termer läggs till medan sekvenser med en gemensam faktor större än +1 eller mindre än -1 går till plus eller minus oändlighet.
Hur geometriska sekvenser Arbete

En geometrisk sekvens definieras av dess startnummer a, den gemensamma faktorn r och antalet termer S. Motsvarande allmänna form av en geometrisk sekvens är:
a, ar, ar ^{2, ar 3 ... ar S-1.}

Den allmänna formeln för term n för en geometrisk sekvens (dvs vilken term som helst inom den sekvensen) är:
a < sub> n \u003d ar ^n-1.

Den rekursiva formeln, som definierar en term med avseende på föregående term, är:
a _{n \u003d ra n- 1}

Ett exempel på en geometrisk sekvens med startnummer 3, vanlig faktor 2 och åtta termer är 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Beräkning av den sista termen med hjälp av den allmänna formen ovan är termen:

a _{8 \u003d 3 × 2 ^{8-1 \u003d 3 × 2 7 \u003d 3 × 128 \u003d 384.}}

Använda den allmänna formeln för term 4:

a _{4 \u003d 3 × 2 ^{4-1 \u003d 3 × 2 3 \u003d 24.}}

Om du vill använda den rekursiva formeln för term 5, sedan term 4 \u003d 24 och en _{5 är lika:}

a _{5 \u003d 2 × 24 \u003d 48.
Geometriska sekvensegenskaper}

Geometriska sekvenser har speciella egenskaper när det gäller det geometriska medelvärdet. Det geometriska medelvärdet av två siffror är kvadratroten till deras produkt. Till exempel är det geometriska medelvärdet av 5 och 20 10 eftersom produkten 5 × 20 \u003d 100 och kvadratroten av 100 är 10.

I geometriska sekvenser är varje term det geometriska medelvärdet av termen före den och termen efter det. Till exempel, i sekvensen 3, 6, 12 ... ovan, är 6 det geometriska medelvärdet av 3 och 12, 12 är det geometriska medelvärdet av 6 och 24, och 24 är det geometriska medelvärdet av 12 och 48.

Andra egenskaper hos geometriska sekvenser beror på den vanliga faktorn. Om den vanliga faktorn r är större än 1 kommer oändliga geometriska sekvenser att närma sig positiv oändlighet. Om r är mellan 0 och 1 kommer sekvenserna att närma sig noll. Om r är mellan noll och -1 kommer sekvenserna att närma sig noll, men termerna växlar mellan positiva och negativa värden. Om r är mindre än -1, kommer termerna att trenda mot både positiv och negativ oändlighet när de växlar mellan positiva och negativa värden.

Geometriska sekvenser och deras egenskaper är särskilt användbara i vetenskapliga och matematiska modeller av verkliga processer . Användningen av specifika sekvenser kan hjälpa till med att studera populationer som växer med en fast takt under givna tidsperioder eller investeringar som tjänar intresse. De allmänna och rekursiva formlerna gör det möjligt att förutsäga exakta värden i framtiden baserat på utgångspunkten och den gemensamma faktorn.