Att lösa ojämlikheter med absolut värde är ungefär som att lösa ekvivalentvärden, men det finns ett par extra detaljer att tänka på. Det hjälper till att redan vara bekväm att lösa ekvivalentvärden, men det är okej om du också lär dem tillsammans! ett uttryck för absolut värde. Till exempel

|

 5 + x
|

 - 10> 6 är ett absolut värde ojämlikhet eftersom det har ett ojämlikhetstecken,> och ett absolut värde uttryck, |

 5 + x
|

.
Hur man löser en ojämlikhet med absolut värde |

Stegen för att lösa en ojämlikhet med absolut värde liknar stegen för att lösa en ekvivalentvärde:

Steg 1: Isolera det absoluta värdet uttryck på ena sidan av ojämlikheten.

Steg 2: Lös den positiva "versionen" av ojämlikheten.

Steg 3: Lös den negativa "versionen" av ojämlikheten genom att multiplicera mängden på den andra sidan av ojämlikheten genom att −1 och vända ojämlikhetstecknet.

Det är mycket att ta in på en gång, så här är ett exempel som leder dig genom stegen.

Lös ojämlikheten för x
: |

 5 + 5_x_ |

 - 3> 2.

1. Isolera uttrycket för absolut värde -
   

   För att göra detta, få |

    5 + 5_x_ |

    av sig själv på ojämlikhetens vänstra sida. Allt du behöver göra är att lägga till 3 på varje sida:
   

   |

    5 + 5_x_ |

    - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
   

   |

    5 + 5_x_ |

    > 5.
   

   Nu finns det två "versioner" av ojämlikheten som vi behöver lösa: den positiva "versionen" och den negativa "versionen."
   

2. Lös den positiva "versionen" av ojämlikheten
   
   

   För det här steget kommer vi att anta att saker är som de ser ut: att 5 + 5_x_> 5.
   

   |

    5 + 5_x_ |

    > 5 → 5 + 5_x_> 5.
   

   Detta är en enkel ojämlikhet; du måste bara lösa för x
   som vanligt. Dra 5 från båda sidor, dela sedan båda sidor med 5.
   

   5 + 5_x_> 5
   

   5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (subtrahera fem från båda sidor)
   

   5_x_> 0
   

   5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (dela båda sidor med fem)
   

   x
   > 0.
   

   Inte dåligt! Så en möjlig lösning på vår ojämlikhet är att x
   > 0. Nu, eftersom det är absoluta värden inblandade, är det dags att överväga en annan möjlighet.
   

3. Lös den negativa "versionen" av ojämlikheten
   
   

   För att förstå den här nästa biten hjälper det att komma ihåg vad absolut värde betyder. Absolut värde mäter ett tals avstånd från noll. Avståndet är alltid positivt, så 9 är nio enheter från noll, men −9 är också nio enheter från noll.
   

   Så |

    9 |

    \u003d 9, men |

    −9 |

    \u003d 9 också.
   

   Nu tillbaka till problemet ovan. "The work above showed that |

    ", 3, [[5 + 5_x_ |

    > 5; med andra ord, det absoluta värdet av "något" är större än fem. Nu kommer alla positiva siffror större än fem att vara längre bort från noll än fem är. Så det första alternativet var att "något", 5 + 5_x_, är större än 5.
   

   Det är: 5 + 5_x_> 5.
   

   Det är scenariot som behandlas ovan, i steg 2.
   

   Tänk nu lite längre. Vad är fem enheter bort från noll? Nåväl, negativa fem är. Och allt längre längs siffrelinjen från negativa fem kommer att vara ännu längre bort från noll. Så vårt "något" kan vara ett negativt tal som är längre bort från noll än negativ fem. Det betyder att det skulle vara ett större klingande nummer, men tekniskt mindre än
   negativa fem eftersom det rör sig i negativ riktning på sifferlinjen.
   

   Så "något", 5 + 5x , kan vara mindre än −5.
   

   5 + 5_x_ <−5
   

   Det snabba sättet att göra detta algebraiskt är att multiplicera mängden på andra sidan ojämlikheten, 5, med negativ en, vänd sedan ojämlikhetstecknet:
   

   |

    5 + 5x |

    > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
   

   Lös sedan som vanligt.
   

   5 + 5_x_ <-5
   

   5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (dra 5 från båda sidor)
   

   5_x_ <−10
   

   5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
   

   x
   <−2.
   

   Så de två möjliga lösningarna på ojämlikheten är x
   > 0 eller x
   <−2. Kontrollera dig själv genom att ansluta några möjliga lösningar för att se till att ojämlikheten fortfarande är sanningen.
   
   Absoluta värden Ojämlikheter utan lösning.

   Det finns ett scenario där det inte finns några lösningar på ett absolut värde olikhet. Eftersom absoluta värden alltid är positiva kan de inte vara lika med eller mindre än negativa siffror.
   

   Så |

     x
   |

    <−2 har ingen lösning
   eftersom utfallet av ett uttryck för absolut värde måste vara positivt.
   Intervallnotation
   

   För att skriva lösningen till vårt huvudexempel i intervallnotation, tänk på hur lösningen ser ut på sifferraden. Vår lösning var x
   > 0 eller x
   <−2. På en talrad är det en öppen punkt vid 0, med en linje som sträcker sig ut till positiv oändlighet, och en öppen punkt vid −2, med en linje som sträcker sig bort till negativ oändlighet. Dessa lösningar pekar bort från varandra, inte mot varandra, så ta varje bit separat.
   

   För x> 0 på en sifferrad finns det en öppen punkt vid noll och sedan en linje som sträcker sig till oändlighet. I intervallotation illustreras en öppen punkt med parenteser, () och en stängd punkt, eller ojämlikheter med ≥ eller ≤, skulle använda parenteser, []. Så för x
   > 0, skriv (0, ∞).
   

   Den andra halvan, x
   <−2, på en sifferrad är en öppen punkt vid - 2 och sedan en pil som sträcker sig hela till −∞. I intervallnotation är det (−∞, −2).
   

   "Eller" i intervallnotation är unionstecknet, ∪.
   

   Så lösningen i intervallnotation är (−∞, - 2) ∪ (0, ∞).