Tangenten är en av de grundläggande trigonometriska funktionerna, vid sidan av sinus och cosinus. Den länkar en triangels vinklar till förhållandena mellan dess sidor och är oumbärlig inom områden som sträcker sig från teknik till fysik. I den här guiden går vi igenom den klassiska rätvinkliga definitionen, illustrerar dess användning med ett enkelt exempel och visar sedan hur samma värde kan härledas från andra trigonometriska funktioner och beräknas med hjälp av en potensserieexpansion.
Märk den räta triangeln så att sambanden är tydliga. Placera den räta vinkeln vid vertex C, vilket gör hypotenuseh mittemot denna vinkel. Låt den spetsiga vinkeln av intresse vara θ vid vertex A. Den sida som gränsar till θ är märkt med b och den motsatta sidan θ är märkt med. De två benen (aandb) tillsammans med hypotenusan bildar hela triangeln.
Per definition är tangensen för en vinkel förhållandet mellan längden på sidan som är motsatt vinkeln och längden på sidan som gränsar till vinkeln:
\[\tan\theta =\frac{a}{b}\]
Betrakta en likbent rätvinklig triangel, där benen är lika:a=b. Här, \(\tan\theta =1\). Eftersom båda spetsiga vinklarna är 45° bekräftar vi att \(\tan45^{\circ}=1\).
Eftersom \(\sin\theta =\frac{a}{h}\) och \(\cos\theta =\frac{b}{h}\), ger en dividering av de två:\[\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
För högre precision eller vinklar som inte är heltal, använd Maclaurin-serien:\[\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]\[\cos x =1 - \frac{x^2}{2!x} + \frac{x^2}{2!x} + \frac{x^2}{2!x} + \frac{x^2}{2!x} + \frac{4{4} + \dots\]Sedan\[\tan x =\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}\]
Trunkera serien till önskad noggrannhet; för de flesta praktiska ändamål räcker det med några termer.
