Av Sky Smith

Uppdaterad:27 februari 2025 19:24 EST

© Kamil Zajaczkowski/Shutterstock

Faktorering av kubiska polynom är ett kraftfullt verktyg som avslöjar en funktions nollor, vilket indikerar var grafen ändrar riktning och förenklar djupare analys. Även om kvadratisk factoring är okomplicerat, kräver kubik ofta ett systematiskt tillvägagångssätt. Nedan finns en beprövad, expertgodkänd metod för att effektivt faktorisera vilket polynom som helst av grad-3.

Steg 1 – Gruppering

Identifiera ett mönster där polynomet kan delas upp i två grupper som delar en gemensam faktor. Tänk till exempel F(x) = x³ – x² – 4x + 4 . Gruppera termerna:

 x²(x – 1) – 4(x – 1)

Dra ut den delade binomialfaktorn (x – 1) :

(x² – 4)(x – 1)

Tillämpa skillnaden-of-kvadratregeln på den återstående kvadratiska:

(x – 2)(x + 2)(x – 1)

Alla faktorer är nu prime.

Steg 2 – Summa eller skillnad av kuber

När ett polynom består av två termer, var och en en perfekt kub, använd standardidentiteterna:

• Summa:(x³ + y³) = (x + y)(x² – xy + y²)
• Skillnad:(x³ – y³) = (x – y)(x² + xy + y²)

Exempel:G(x) = 8x³ – 125 faktorer som

(2x – 5)(4x² + 10x + 25)

Kvadraten är irreducerbar över heltal, så factoring stoppar här.

Steg 3 – Extrahera en största gemensamma faktor

Kontrollera om en variabel eller konstant multiplicerar alla termer. För H(x) = x³ – 4x , faktor ut x :

H(x) = x(x² – 4)

Använd sedan tricket different-of-squads:

H(x) = x(x – 2)(x + 2)

Steg 4 – Använd faktorsatsen

När gruppering, kuber och GCF är otillräckliga, hitta en rationell rot med hjälp av faktorsatsen. För P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 , test heltalskandidater ±1, ±2, ±5, ±10. Vi hittar

P(5) = 0

Alltså (x – 5) är en faktor. Dividering med detta binomial ger

P(x) = (x – 5)(x² + x – 2)

De kvadratiska faktorerna vidare:

(x – 5)(x – 1)(x + 2)

Referenser

• Lamar University:Factoring polynoms