Av Allan Robinson | Uppdaterad 30 augusti 2022

Att förstå förhållandet mellan ett fast ämnes yta och dess volym är viktigt för både ingenjörer, arkitekter och studenter. Den här guiden beskriver hur man härleder volym med hjälp av ytarea för en mängd olika former – från enkla prismor till komplexa sfärer – utan att förlita sig på avancerad kalkyl.

Steg 1:Uniforma tvärsnitt

Överväg ett solidt S avgränsas av två parallella plan som kallas baserna . Om varje tvärsnitt parallellt med dessa baser har samma area som baserna, är situationen idealisk för en enkel beräkning.

• Låt b vara arean av basen (och eventuellt tvärsnitt).
• Låt h vara det vinkelräta avståndet mellan de två basplanen.

Steg 2:Beräkna volymen

För sådana fasta ämnen är volymen helt enkelt produkten av basarean och höjden:

V =bh

Prismor och cylindrar passar denna modell, men formeln gäller även för alla former som uppfyller det enhetliga tvärsnittsvillkoret.

Steg 3:Pyramidal skalning

Föreställ dig nu ett solidt P bildad av en bas och en enda spets. Låt:

• h =avstånd från spetsen till basen.
• z =avstånd från basen till ett tvärsnitt parallellt med det.
• b =area av basen.
• c =area av tvärsnittet.

För ett sådant tvärsnitt följer förhållandet mellan ytor:

(h – z)/h = c/b

Steg 4:Volym av koniska fasta ämnen

Att tillämpa skalningsförhållandet ger den klassiska formeln för pyramider och kottar:

V =(bh)/3

Detta fungerar för alla basformer, förutsatt att proportionalitetsvillkoret gäller.

Steg 5:Sfärvolym från yta

Ytan på en sfär ges av A = 4πr² . Integrering av detta område med avseende på radie r ger den välbekanta volymformeln:

V =(4/3)πr³

Sålunda kan även de mest sfäriska fasta ämnen få sina volymer härledda från sina ytareor.

Genom att bemästra dessa steg kan du med säkerhet beräkna volymen av ett brett spektrum av fasta ämnen med endast deras ytarea och grundläggande geometriska samband.